kaoyan2advanced 高等数学 第193题
📝 题目
### 第193题
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上存在二阶导数，且 $f(0)=f(1)=0$ ．试证明至少存在一点 $\xi \in (0,1)$ ，使
$$ $\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geqslant 8 \max _{0 \leqslant x \leqslant 1}|f(x)| .$ $$
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：设 $M=\max_{0\le x\le1}|f(x)|$，存在 $x_0\in(0,1)$ 使 $|f(x_0)|=M$。 步骤2：由泰勒公式，$\displaystyle f(0)=f(x_0)+f'(x_0)(-x_0)+\frac{1}{2}f''(\xi_1)x_0^2$，$\displaystyle f(1)=f(x_0)+f'(x_0)(1-x_0)+\frac{1}{2}f''(\xi_2)(1-x_0)^2$。 步骤3：两式相减得 $\displaystyle 0=f'(x_0)+\frac{1}{2}[f''(\xi_2)(1-x_0)^2-f''(\xi_1)x_0^2]$，取绝对值并利用 $f(0)=f(1)=0$ 得 $\displaystyle |f''(\xi)|\ge\frac{2M}{x_0(1-x_0)}\ge8M$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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