kaoyan2advanced 高等数学 第194题
📝 题目
### 第194题
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶连续可导，$f(0)=f(1)=0$ ，且 $f(x) \neq 0, x \in(0,1)$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x>4$ ．
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：由 $f(0)=f(1)=0$ 且 $f(x)\neq0$，不妨设 $f(x)>0$ 于 $(0,1)$，则存在最大值点 $c\in(0,1)$，$f(c)>0$，$f'(c)=0$。 步骤2：由泰勒公式，$\displaystyle f(0)=f(c)-\frac{1}{2}f''(\xi_1)c^2$，$\displaystyle f(1)=f(c)+\frac{1}{2}f''(\xi_2)(1-c)^2$，得 $\displaystyle f''(\xi_1)=-\frac{2f(c)}{c^2}$，$\displaystyle f''(\xi_2)=-\frac{2f(c)}{(1-c)^2}$。 步骤3：$\displaystyle \int_0^1\left|\frac{f''(x)}{f(x)}\right|dx\ge\int_{\xi_1}^{\xi_2}\left|\frac{f''(x)}{f(x)}\right|dx\ge\frac{2}{c^2}+\frac{2}{(1-c)^2}\ge8$，由均值不等式得大于4。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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