kaoyan2advanced 高等数学 第195题
📝 题目
### 第195题
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续导数，且 $g^{\prime}(x) \neq 0$ ．若 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x= 0, \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：至少存在两个不同的点 $\xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ ，使得 $f\left(\xi_{1}\right)=f\left(\xi_{2}\right)=0$ ．
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：由 $\int_a^b f(x)dx=0$，存在 $\eta\in(a,b)$ 使 $f(\eta)=0$。 步骤2：令 $F(x)=\int_a^x f(t)dt$，则 $F(a)=F(b)=0$，且 $F'(x)=f(x)$。 步骤3：由 $\int_a^b f(x)g(x)dx=0$，分部积分得 $[F(x)g(x)]_a^b-\int_a^b F(x)g'(x)dx=0$，即 $\int_a^b F(x)g'(x)dx=0$。 步骤4：由 $g'(x)\neq0$，存在 $\xi_1,\xi_2\in(a,b)$ 使 $F(\xi_1)=F(\xi_2)=0$，从而 $f(\xi_1)=f(\xi_2)=0$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：利用积分中值定理得到第一个零点
由 $\int_a^b f(x) \, dx = 0$ 及 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，根据积分中值定理，存在 $\eta \in (a,b)$ 使得 $f(\eta) = 0$。
公式：$$\int_a^b f(x) \, dx = f(\eta)(b-a)$$
提示：注意η在开区间(a,b)内
步骤 2/6
目标：步骤2：构造辅助函数并分析其性质
令 $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$，则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $F'(x) = f(x)$。由 $\int_a^b f(x) \, dx = 0$ 得 $F(a) = 0$，$F(b) = 0$。
公式：$$F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$$
提示：注意F(a)=0和F(b)=0的条件
步骤 3/6
目标：步骤3：利用第二个积分条件进行分部积分
由 $\int_a^b f(x)g(x) \, dx = 0$，代入 $f(x) = F'(x)$ 得 $\int_a^b F'(x)g(x) \, dx = 0$。分部积分得 $\left[ F(x)g(x) \right]_a^b - \int_a^b F(x)g'(x) \, dx = 0$。由于 $F(a)=F(b)=0$，故 $\int_a^b F(x)g'(x) \, dx = 0$。
公式：$$\int_a^b F'(x)g(x) \, dx = \left[ F(x)g(x) \right]_a^b - \int_a^b F(x)g'(x) \, dx$$
提示：注意F(a)=F(b)=0消去边界项
步骤 4/6
目标：步骤4：应用积分中值定理于新的积分
由于 $g'(x) \neq 0$ 且连续，$g'(x)$ 在 $[a,b]$ 上恒正或恒负。对 $\int_a^b F(x)g'(x) \, dx = 0$ 应用积分中值定理，存在 $\xi_1, \xi_2 \in (a,b)$（$\xi_1 \neq \xi_2$）使得 $F(\xi_1) = F(\xi_2) = 0$。
公式：$$\int_a^b F(x)g'(x) \, dx = F(\xi) \int_a^b g'(x) \, dx$$
提示：注意g'(x)恒正或恒负，保证中值定理应用
步骤 5/6
目标：步骤5：由F的零点得到f的零点
由 $F'(x) = f(x)$ 及 $F(\xi_1) = F(\xi_2) = 0$，根据罗尔定理，存在 $\xi_1', \xi_2'$ 使得 $f(\xi_1') = 0$ 和 $f(\xi_2') = 0$。但更直接地，由 $F(\xi_i)=0$ 且 $F$ 可导，$F$ 在 $\xi_i$ 处取极值，则 $f(\xi_i)=F'(\xi_i)=0$，故 $\xi_1, \xi_2$ 即为所求。
提示：注意极值点导数不一定为零，需结合罗尔定理
步骤 6/6
目标：步骤6：结论
因此，存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2 \in (a,b)$，使得 $f(\xi_1)=f(\xi_2)=0$。
提示：注意两个不同点的存在性证明
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