kaoyan2advanced 高等数学 第196题
📝 题目
### 第196题
（1）记 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos (2 n+1) x}{\cos x} \mathrm{~d} x$ ，求证：$\displaystyle I_{n}=\frac{(-1)^{n}}{2} \pi$ ． （2）计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2 n x \cdot \ln \cos x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）证明见解析；（2）$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ **解析**： （1）步骤1：$\displaystyle I_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos(2n+1)x}{\cos x}dx$，利用恒等式 $\cos(2n+1)x=2\cos2nx\cos x-\cos(2n-1)x$。 步骤2：递推得 $I_n=(-1)^n I_0$，$\displaystyle I_0=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{\cos x}dx=\frac{\pi}{2}$，故 $\displaystyle I_n=\frac{(-1)^n}{2}\pi$。 （2）步骤1：$\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\int_0^{\pi/2}\cos2nx\cdot\ln\cos x dx=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2n+1)x-\sin(2n-1)x}{\cos x}\ln\cos x dx$。 步骤2：利用（1）结果及黎曼-勒贝格引理，极限为 $\displaystyle -\frac{\pi}{2}$。 **难度**：★★★★☆