kaoyan2advanced 高等数学 第197题
📝 题目
### 第197题
设 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上单调减少的连续函数，且 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=1$ ．记 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数． （1）设 $k$ 为整数，求 $\int_{k-1}^{k}(x-[x]) \mathrm{d} x$ ． （2）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}(n x-[n x]) f(x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle \frac{1}{2}$；（2）$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： （1）步骤1：$\displaystyle \int_{k-1}^k (x-[x])dx=\int_{k-1}^k (x-(k-1))dx=\left[\frac{(x-(k-1))^2}{2}\right]_{k-1}^k=\frac{1}{2}$。 （2）步骤1：令 $t=nx$，则原式 $\displaystyle =\frac{1}{n}\int_0^n (t-[t])f\left(\frac{t}{n}\right)dt$。 步骤2：由 $f$ 单调减少连续，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)\int_{k-1}^k (t-[t])dt=\frac{1}{2}\int_0^1 f(x)dx=\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算定积分 ∫_{k-1}^{k} (x - [x]) dx
当 $x \in [k-1, k)$ 时，$[x] = k-1$，因此 $x - [x] = x - (k-1)$。积分得：
$$\int_{k-1}^{k} (x - [x]) \, dx = \int_{k-1}^{k} (x - (k-1)) \, dx = \left[ \frac{(x - (k-1))^2}{2} \right]_{k-1}^{k} = \frac{1}{2}.$$
公式：$$\int_{k-1}^{k} (x - [x]) \, dx = \frac{1}{2}$$
提示：注意[x]在区间内为常数
步骤 2/6
目标：变量代换处理极限表达式
令 $t = nx$，则 $x = \frac{t}{n}$，$dx = \frac{dt}{n}$，积分限 $x \in [0,1]$ 对应 $t \in [0,n]$。原极限化为：
$$\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} (nx - [nx]) f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{n} (t - [t]) f\left(\frac{t}{n}\right) \, dt.$$
公式：$$\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} (nx - [nx]) f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{n} (t - [t]) f\left(\frac{t}{n}\right) \, dt$$
提示：注意积分限和变量替换的对应关系
步骤 3/6
目标：将积分区间分段求和
将 $[0,n]$ 分成 $n$ 个长度为 $1$ 的子区间 $[k-1, k]$，$k=1,2,\ldots,n$，则：
$$\frac{1}{n} \int_{0}^{n} (t - [t]) f\left(\frac{t}{n}\right) \, dt = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \int_{k-1}^{k} (t - [t]) f\left(\frac{t}{n}\right) \, dt.$$
公式：$$\frac{1}{n} \int_{0}^{n} (t - [t]) f\left(\frac{t}{n}\right) dt = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \int_{k-1}^{k} (t - [t]) f\left(\frac{t}{n}\right) dt$$
提示：注意区间端点处理，避免重复或遗漏
步骤 4/6
目标：利用积分中值定理或单调性近似
由于 $f$ 单调减少连续，在 $[k-1, k]$ 上 $f\left(\frac{t}{n}\right)$ 介于 $f\left(\frac{k-1}{n}\right)$ 和 $f\left(\frac{k}{n}\right)$ 之间。由积分第一中值定理，存在 $\xi_k \in [k-1, k]$ 使得：
$$\int_{k-1}^{k} (t - [t]) f\left(\frac{t}{n}\right) \, dt = f\left(\frac{\xi_k}{n}\right) \int_{k-1}^{k} (t - [t]) \, dt = \frac{1}{2} f\left(\frac{\xi_k}{n}\right).$$
公式：$$\int_{k-1}^{k} (t - [t]) f\left(\frac{t}{n}\right) dt = \frac{1}{2} f\left(\frac{\xi_k}{n}\right)$$
提示：注意积分区间与中值定理条件
步骤 5/6
目标：转化为黎曼和并求极限
于是原极限为：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} f\left(\frac{\xi_k}{n}\right) = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{\xi_k}{n}\right).$$
由于 $\frac{\xi_k}{n} \in \left[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}\right]$，且 $f$ 连续，上述黎曼和极限等于 $\int_0^1 f(x) \, dx = 1$。因此极限值为 $\frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{\xi_k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx$$
提示：注意ξ_k在小区间内任取，不影响极限
步骤 6/6
目标：最终答案
（1）$\displaystyle \frac{1}{2}$；（2）$\displaystyle \frac{1}{2}$。
提示：注意单调性与积分中值定理的结合
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