kaoyan2advanced 高等数学 第198题
📝 题目
### 第198题
198计算 $\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^{4} \arctan x}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{4}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}\ln2-\frac{1}{6}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}}\frac{x^4\arctan x}{x^2+1}dx=\int_0^{\sqrt{3}}\left(x^2-1+\frac{1}{x^2+1}\right)\arctan x dx$。 步骤2：分部积分，$\displaystyle \int x^2\arctan x dx=\frac{x^3}{3}\arctan x-\frac{1}{3}\int\frac{x^3}{1+x^2}dx$，类似计算其他项。 步骤3：代入上下限得结果 $\displaystyle \frac{\pi}{4}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}\ln2-\frac{1}{6}$。 **难度**：★★★☆☆
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