kaoyan2advanced 高等数学 第199题
📝 题目
### 第199题
（1）证明：对任意实数 $x$ ，均有 $\displaystyle \mathrm{e}^{-x^{2}} \leqslant \frac{1}{1+x^{2}}$ ． （2）证明： $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 收敛，且对任意正整数 $n(n \geqslant 2)$ ，均有 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{\pi \sqrt{n}}{2} \cdot \frac{(2 n-3)!!}{(2 n-2)!!}$
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： （1）步骤1：需证 $e^{-x^2}(1+x^2)\le1$，令 $g(x)=e^{x^2}-(1+x^2)$，$g(0)=0$，$g'(x)=2x(e^{x^2}-1)\ge0$，故 $g(x)\ge0$。 （2）步骤1：$\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx$ 收敛由高斯积分知。 步骤2：由（1）及递推 $\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^n}=\frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}\cdot\frac{\pi}{2}$，得 $\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx\le\frac{\pi\sqrt{n}}{2}\cdot\frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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