kaoyan2advanced 高等数学 第200题
📝 题目
### 第200题
求函数 $f(x)=\int_{0}^{x^{2}}(2-t) \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t$ 的最大值与最小值．
💡 答案解析
**答案**：最大值 $2-e^{-4}$，最小值 $0$ **解析**： 步骤1：$f(x)=\int_0^{x^2}(2-t)e^{-t}dt$，$f'(x)=2x(2-x^2)e^{-x^2}$。 步骤2：驻点 $x=0,\pm\sqrt{2}$，$f(0)=0$，$f(\pm\sqrt{2})=\int_0^2(2-t)e^{-t}dt=2-e^{-2}$，$f(\pm\infty)=\int_0^{+\infty}(2-t)e^{-t}dt=1$。 步骤3：比较得最大值 $2-e^{-4}$（应为 $2-e^{-2}$ 之误，实际计算 $f(\sqrt{2})=2-e^{-2}$，$f(0)=0$，故最大 $2-e^{-2}$，最小 $0$）。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求导数
由 $f(x)=\int_{0}^{x^{2}}(2-t)e^{-t}dt$，利用变上限积分求导法则和链式法则，得 $f'(x)=2x\cdot(2-x^{2})e^{-x^{2}}$。
公式：$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{g(x)} f(t) dt = f(g(x)) \cdot g'(x)$$
提示：注意链式法则，内层函数求导易漏乘2x
步骤 2/5
目标：求驻点
令 $f'(x)=0$，即 $2x(2-x^{2})e^{-x^{2}}=0$，解得 $x=0$ 或 $x=\pm\sqrt{2}$。
公式：$$f'(x)=2x(2-x^{2})e^{-x^{2}}=0$$
提示：注意复合函数求导时不要漏掉内层导数
步骤 3/5
目标：计算函数值
计算各驻点及端点处的函数值：
$f(0)=\int_{0}^{0}(2-t)e^{-t}dt=0$；
$f(\pm\sqrt{2})=\int_{0}^{2}(2-t)e^{-t}dt$。
计算该积分：$\int_{0}^{2}(2-t)e^{-t}dt = \left[-(2-t)e^{-t}-e^{-t}\right]_{0}^{2} = \left[-(2-t-1)e^{-t}\right]_{0}^{2} = \left[-(1-t)e^{-t}\right]_{0}^{2} = (1-2)e^{-2} - (1-0)e^{0} = -e^{-2} - 1$，更正：正确计算应为 $\int_{0}^{2}(2-t)e^{-t}dt = \left[-(2-t)e^{-t}-e^{-t}\right]_{0}^{2} = \left[-(3-t)e^{-t}\right]_{0}^{2} = -(3-2)e^{-2} + (3-0)e^{0} = -e^{-2}+3$，再检查：分部积分得 $\int (2-t)e^{-t}dt = -(2-t)e^{-t} - \int e^{-t}dt = -(2-t)e^{-t} + e^{-t} = (t-1)e^{-t}$，故 $\int_{0}^{2}(2-t)e^{-t}dt = [(t-1)e^{-t}]_{0}^{2} = (2-1)e^{-2} - (0-1)e^{0} = e^{-2}+1$。因此 $f(\pm\sqrt{2})=1+e^{-2}$。
公式：$$\int (2-t)e^{-t}dt = -(2-t)e^{-t} - e^{-t} + C$$
提示：注意分部积分符号和上下限代入
步骤 4/5
目标：考虑极限情况
当 $x\to\pm\infty$ 时，$x^{2}\to+\infty$，$f(\pm\infty)=\int_{0}^{+\infty}(2-t)e^{-t}dt = \lim_{b\to+\infty}[(t-1)e^{-t}]_{0}^{b} = \lim_{b\to+\infty}(b-1)e^{-b} + 1 = 1$。
公式：$$\int_{0}^{+\infty}(2-t)e^{-t}dt = \lim_{b\to+\infty}[(t-1)e^{-t}]_{0}^{b} = 1$$
提示：注意积分限为无穷时的极限计算
步骤 5/5
目标：比较得最值
比较 $f(0)=0$，$f(\pm\sqrt{2})=1+e^{-2}$，$f(\pm\infty)=1$，可知最大值为 $1+e^{-2}$，最小值为 $0$。
提示：注意无穷远处极限值1
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