kaoyan2advanced 高等数学 第201题
📝 题目
### 第201题
设 $G^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} G(x)=0$ ，求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{0}^{x} t^{2} G(t) \mathrm{d} t$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：由 $G'(x)=e^{-x^2}$，$\lim_{x\to+\infty}G(x)=0$，得 $G(x)=-\int_x^{+\infty}e^{-t^2}dt$。 步骤2：$\lim_{x\to+\infty}\int_0^x t^2G(t)dt=\int_0^{+\infty}t^2\left(-\int_t^{+\infty}e^{-s^2}ds\right)dt$。 步骤3：交换积分次序得 $\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-s^2}\int_0^s t^2dt ds=\int_0^{+\infty}e^{-s^2}\frac{s^3}{3}ds=\frac{1}{6}\int_0^{+\infty}s^3e^{-s^2}ds=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：由条件确定G(x)的表达式
已知 $G'(x)=e^{-x^2}$，且 $\lim_{x\to+\infty}G(x)=0$。对 $G'(x)$ 从 $x$ 到 $+\infty$ 积分，得 $G(x) = -\int_x^{+\infty} e^{-t^2} dt$。
公式：$$G(x) = -\int_x^{+\infty} e^{-t^2} dt$$
提示：注意积分上下限与极限条件结合
步骤 2/5
目标：将所求极限转化为累次积分
所求极限为 $\lim_{x\to+\infty} \int_0^x t^2 G(t) dt = \int_0^{+\infty} t^2 G(t) dt$。代入 $G(t)$ 表达式，得 $\int_0^{+\infty} t^2 \left( -\int_t^{+\infty} e^{-s^2} ds \right) dt$。
公式：$$\lim_{x\to+\infty} \int_0^x t^2 G(t) dt = \int_0^{+\infty} t^2 G(t) dt$$
提示：注意极限转化为无穷限积分
步骤 3/5
目标：交换积分次序
积分区域为 $0 \le t < +\infty$，$t \le s < +\infty$，交换次序后为 $0 \le s < +\infty$，$0 \le t \le s$。于是原积分化为 $\int_0^{+\infty} e^{-s^2} \left( \int_0^s t^2 dt \right) ds$。
公式：$$\iint_D f(x,y) dxdy = \iint_{D'} f(x,y) dydx$$
提示：注意积分限的对应关系
步骤 4/5
目标：计算内层积分
内层积分 $\int_0^s t^2 dt = \frac{s^3}{3}$，代入得 $\int_0^{+\infty} e^{-s^2} \cdot \frac{s^3}{3} ds = \frac{1}{3} \int_0^{+\infty} s^3 e^{-s^2} ds$。
公式：$$\int_0^s t^2 dt = \frac{s^3}{3}$$
提示：注意积分变量与上下限的对应关系
步骤 5/5
目标：计算外层积分并得出答案
令 $u = s^2$，则 $du = 2s ds$，$s^3 ds = \frac{1}{2} u du$，积分变为 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} u e^{-u} du = \frac{1}{6} \Gamma(2) = \frac{1}{6} \cdot 1 = \frac{1}{6}$。或者直接计算 $\int_0^{+\infty} s^3 e^{-s^2} ds = \frac{1}{2}$，故原式 $= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$。因此所求极限为 $\frac{1}{6}$。
公式：$$\int_0^{+\infty} s^3 e^{-s^2} ds = \frac{1}{2}$$
提示：注意换元后积分限变化
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