kaoyan2advanced 高等数学 第202题
📝 题目
### 第202题
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续．证明：存在 $\xi \in(0,1)$ ，使
$$ $\int_{0}^{\xi} f(t) \mathrm{d} t=(1-\xi) f(\xi),$ $$
又若设 $f(x)>0$ ，且单调减少，则满足等式的 $\xi$ 是唯一的． 建设荅题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$
熟絊
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：令 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t - (1-x) f(x)$，则 $F(0)=-f(0)$，$F(1)=\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$。由积分中值定理，存在 $\eta \in (0,1)$ 使 $\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t = f(\eta)$，故 $F(1)=f(\eta)$。若 $f(0)=f(\eta)$，则取 $\xi=\eta$ 或 $\xi=0$，否则 $F(0)F(1)<0$，由零点定理存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $F(\xi)=0$。 步骤2：若 $f(x)>0$ 且单调减少，设存在两个不同的 $\xi_1<\xi_2$ 满足等式，则 $\int_{0}^{\xi_1} f(t) \mathrm{d} t = (1-\xi_1)f(\xi_1)$，$\int_{0}^{\xi_2} f(t) \mathrm{d} t = (1-\xi_2)f(\xi_2)$。两式相减并利用单调性推出矛盾，故 $\xi$ 唯一。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数并分析端点值
令 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t - (1-x) f(x)$，则 $F(0)=-f(0)$，$F(1)=\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$。由积分中值定理，存在 $\eta \in (0,1)$ 使 $\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t = f(\eta)$，故 $F(1)=f(\eta)$。
公式：$$F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t - (1-x) f(x)$$
提示：注意辅助函数构造及端点值符号
步骤 2/5
目标：讨论零点存在性
若 $f(0)=f(\eta)$，则取 $\xi=\eta$ 或 $\xi=0$ 即可。否则 $F(0)F(1)<0$，由零点定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $F(\xi)=0$，即 $\int_{0}^{\xi} f(t) \mathrm{d} t = (1-\xi) f(\xi)$。
公式：$$F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t - (1-x) f(x)$$
提示：注意构造辅助函数，利用零点定理
步骤 3/5
目标：证明唯一性（反证法）
若 $f(x)>0$ 且单调减少，假设存在两个不同的 $\xi_1<\xi_2$ 满足等式，则 $\int_{0}^{\xi_1} f(t) \mathrm{d} t = (1-\xi_1)f(\xi_1)$，$\int_{0}^{\xi_2} f(t) \mathrm{d} t = (1-\xi_2)f(\xi_2)$。
提示：注意反证法假设两个不同点
步骤 4/5
目标：推导矛盾
两式相减得 $\int_{\xi_1}^{\xi_2} f(t) \mathrm{d} t = (1-\xi_2)f(\xi_2) - (1-\xi_1)f(\xi_1)$。由 $f$ 单调减少，$\int_{\xi_1}^{\xi_2} f(t) \mathrm{d} t \geq (\xi_2-\xi_1)f(\xi_2)$，且 $(1-\xi_2)f(\xi_2) - (1-\xi_1)f(\xi_1) < (\xi_1-\xi_2)f(\xi_2)$，推出矛盾。故 $\xi$ 唯一。
公式：$$\int_{\xi_1}^{\xi_2} f(t) \mathrm{d} t = (1-\xi_2)f(\xi_2) - (1-\xi_1)f(\xi_1)$$
提示：注意单调性放缩方向
步骤 5/5
目标：结论
存在唯一的 $\xi \in (0,1)$ 使得 $\int_{0}^{\xi} f(t) \mathrm{d} t = (1-\xi) f(\xi)$。
公式：$$\int_{0}^{\xi} f(t) \mathrm{d} t = (1-\xi) f(\xi)$$
提示：注意构造辅助函数时需考虑端点值
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