kaoyan2advanced 高等数学 第203题

**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：令 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$，则 $F(0)=0$，$F(1)=\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$。由条件 $\int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x = \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$，得 $\int_{0}^{1} (x^{2}-1) f(x) \mathrm{d} x = 0$。 步骤2：由积分中值定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $(\xi^{2}-1) \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x = 0$，但 $\xi^{2}-1 \neq 0$，故 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x = 0$，即 $F(1)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $F'(\xi)=f(\xi)=0$，但需证 $\int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x = 0$。实际上，由 $F(0)=F(1)=0$，存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $F'(\xi)=0$，即 $f(\xi)=0$，但 $\int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x$ 不一定为零。重新考虑：令 $G(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$，则 $G(0)=0$，$G(1)=0$，由罗尔定理存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $G'(\xi)=f(\xi)=0$，但结论要求 $\int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=0$，即 $G(\xi)=0$。由 $G(0)=G(1)=0$，存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $G(\xi)=0$ 不一定成立，需用介值定理：若 $G(x)$ 不恒为零，则存在最大值或最小值点，结合条件可证存在 $\xi$ 使 $G(\xi)=0$。实际上，由 $\int_{0}^{1} (x^{2}-1) f(x) \mathrm{d} x = 0$，令 $H(x)=\int_{0}^{x} (t^{2}-1) f(t) \mathrm{d} t$，则 $H(0)=H(1)=0$，由罗尔定理存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $H'(\xi)=(\xi^{2}-1) f(\xi)=0$，故 $f(\xi)=0$，但需 $\int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=0$。考虑函数 $K(x)=\mathrm{e}^{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$，利用条件可证。标准解法：令 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$，则 $F(0)=0$，由条件得 $\int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x = \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x = F(1)$。分部积分得 $\int_{0}^{1} x^{2} \mathrm{d} F(x) = x^{2} F(x)\big|_{0}^{1} - 2\int_{0}^{1} x F(x) \mathrm{d} x = F(1) - 2\int_{0}^{1} x F(x) \mathrm{d} x$，代入得 $F(1) - 2\int_{0}^{1} x F(x) \mathrm{d} x = F(1)$，故 $\int_{0}^{1} x F(x) \mathrm{d} x = 0$。由积分中值定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $\xi F(\xi) \cdot 1 = 0$，即 $F(\xi)=0$。 **难度**：★★★☆☆