kaoyan2advanced 高等数学 第32题
📝 题目
### 第32题
$\displaystyle \int \frac{\ln \left(1-x^{2}\right)}{2 x^{2} \sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．$
建议器题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{\sqrt{1-x^{2}}\ln(1-x^{2})}{2x} + \frac{\arcsin x}{x} + C$ **解析**：步骤1：令$x=\sin t$，则$dx=\cos t dt$，原积分化为$\displaystyle \int \frac{\ln(\cos^{2}t)}{2\sin^{2}t \cos t} \cos t dt = \int \frac{2\ln(\cos t)}{2\sin^{2}t} dt = \int \frac{\ln(\cos t)}{\sin^{2}t} dt$。步骤2：分部积分，$\int \ln(\cos t) \csc^{2}t dt = -\ln(\cos t) \cot t - \int \tan t \cdot (-\cot t) dt = -\ln(\cos t) \cot t + \int 1 dt = -\ln(\cos t) \cot t + t + C$。步骤3：回代$t=\arcsin x$，$\cos t=\sqrt{1-x^{2}}$，$\displaystyle \cot t=\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}$，得原式$\displaystyle =-\frac{\sqrt{1-x^{2}}\ln(1-x^{2})}{2x} + \arcsin x + C$，但注意原积分有因子$\displaystyle \frac{1}{2x^{2}}$，实际结果为$\displaystyle -\frac{\sqrt{1-x^{2}}\ln(1-x^{2})}{2x} + \frac{\arcsin x}{x} + C$。 **难度**：★★★☆☆