kaoyan2advanced 高等数学 第31题
📝 题目
### 第31题
$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \arctan n \sqrt{x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．$
建设荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ **解析**：步骤1：被积函数$\arctan(n\sqrt{x})$，当$n \to \infty$时，对$x>0$，$\displaystyle \arctan(n\sqrt{x}) \to \frac{\pi}{2}$；在$x=0$处，值为$0$。 步骤2：由控制收敛定理或直接计算，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \arctan(n\sqrt{x}) dx = \int_0^1 \frac{\pi}{2} dx = \frac{\pi}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析被积函数的极限行为
对于 $x \in (0,1]$，当 $n \to \infty$ 时，$n\sqrt{x} \to +\infty$，因此 $\arctan(n\sqrt{x}) \to \frac{\pi}{2}$。在 $x=0$ 处，$\arctan(0)=0$，但该点不影响积分值。
提示：注意x=0处极限为0，但不影响积分
步骤 2/4
目标：应用控制收敛定理或直接积分
由于 $|\arctan(n\sqrt{x})| \leq \frac{\pi}{2}$ 在 $[0,1]$ 上可积，由勒贝格控制收敛定理，极限与积分可交换次序：
$$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \arctan(n\sqrt{x}) \, dx = \int_0^1 \lim_{n \to \infty} \arctan(n\sqrt{x}) \, dx = \int_0^1 \frac{\pi}{2} \, dx.$$
公式：$$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \arctan(n\sqrt{x}) \, dx = \int_0^1 \frac{\pi}{2} \, dx = \frac{\pi}{2}$$
提示：注意被积函数一致有界，可交换极限与积分
步骤 3/4
目标：计算定积分
$$\int_0^1 \frac{\pi}{2} \, dx = \frac{\pi}{2} \cdot (1 - 0) = \frac{\pi}{2}.$$
公式：$$\int_0^1 \frac{\pi}{2} \, dx = \frac{\pi}{2}$$
提示：注意arctan(n√x)在n→∞时趋近于π/2
步骤 4/4
目标：得出最终答案
因此，原极限值为 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \arctan(n \sqrt{x}) \, dx = \frac{\pi}{2}$$
提示：注意极限与积分交换次序的条件
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