kaoyan2advanced 高等数学 第30题
📝 题目
### 第30题
数列 $\displaystyle \left\{\frac{(1+n)^{3}}{(1-n)^{2}}\right\}$ 的最小项的项数 $n=$ $\_\_\_\_$ ，且该项的数值为 $\_\_\_\_$ ．
建设荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$ 神佔
💡 答案解析
**答案**：$n=2$，数值为$27$ **解析**：步骤1：设$\displaystyle a_n = \frac{(1+n)^3}{(1-n)^2}$，定义域$n \neq 1$，$n$为正整数。考虑函数$\displaystyle f(x)=\frac{(1+x)^3}{(1-x)^2}$，$x>0, x \neq 1$。 步骤2：求导$\displaystyle f'(x)=\frac{3(1+x)^2(1-x)^2 + 2(1+x)^3(1-x)}{(1-x)^4} = \frac{(1+x)^2(1-x)[3(1-x)+2(1+x)]}{(1-x)^4} = \frac{(1+x)^2(5-x)}{(1-x)^3}$。令$f'(x)=0$得$x=5$。当$x<5$时，$f'(x)>0$（注意分母符号），当$x>5$时，$f'(x)<0$，故$x=5$为极大值点。但数列需检查整数点：$n=2$时，$\displaystyle a_2 = \frac{27}{1}=27$；$n=3$时，$\displaystyle a_3 = \frac{64}{4}=16$；$n=4$时，$\displaystyle a_4 = \frac{125}{9}\approx13.89$；$n=5$时，$\displaystyle a_5 = \frac{216}{16}=13.5$；$n=6$时，$\displaystyle a_6 = \frac{343}{25}=13.72$。故最小项在$n=2$，值为$27$。 **难度**：★★★☆☆