kaoyan2advanced 高等数学 第29题

**答案**：$\displaystyle y = -x + \frac{1}{3}$ **解析**：步骤1：由$x^3 + y^3 = y^2$，当$x \to \infty$时，$y \to -\infty$。设斜渐近线$y = kx + b$，$\displaystyle k = \lim_{x \to -\infty} \frac{y}{x}$。由方程除以$x^3$，得$\displaystyle 1 + (\frac{y}{x})^3 = \frac{y^2}{x^3}$，令$\displaystyle t = \frac{y}{x}$，则$\displaystyle 1 + t^3 = \frac{t^2}{x}$，当$x \to -\infty$时，右边$\to 0$，故$1+t^3=0$，$t=-1$，即$k=-1$。 步骤2：$\displaystyle b = \lim_{x \to -\infty} (y + x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{y^2}{y^2 - xy + x^2}$？由$y^3 = y^2 - x^3$，则$\displaystyle y + x = \frac{y^3 + x^3}{y^2 - xy + x^2} = \frac{y^2}{y^2 - xy + x^2}$，当$x \to -\infty$时，$y \sim -x$，分母$\sim 3x^2$，分子$\sim x^2$，故$\displaystyle b = \frac{1}{3}$。渐近线为$\displaystyle y = -x + \frac{1}{3}$。 **难度**：★★★☆☆