kaoyan2advanced 高等数学 第28题

教材习题

📝 题目

### 第28题

设有底面半径为 $r$ ，高为 $h$ 的正圆柱体，记其表面积为 $S$ ．当该圆柱体的底面半径 $r$ 以 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ，高 $h$ 以 $3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度同时均匀增长，则在 $r=4 \mathrm{~cm}, h=6 \mathrm{~cm}$ 时，圆柱体表面积 $S$ 增长的速度为 $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**：$128\pi \ \text{cm}^2/\text{s}$ **解析**：步骤1：圆柱体表面积$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$，则$\displaystyle \frac{dS}{dt} = 4\pi r \frac{dr}{dt} + 2\pi h \frac{dr}{dt} + 2\pi r \frac{dh}{dt}$。 步骤2：代入$\displaystyle r=4, h=6, \frac{dr}{dt}=2, \frac{dh}{dt}=3$，得$\displaystyle \frac{dS}{dt} = 4\pi \cdot 4 \cdot 2 + 2\pi \cdot 6 \cdot 2 + 2\pi \cdot 4 \cdot 3 = 32\pi + 24\pi + 24\pi = 80\pi$。 （注：常见答案$128\pi$，检查：$S=2\pi r^2+2\pi rh$，导数应为$4\pi r r' + 2\pi h r' + 2\pi r h' = 2\pi r'(2r+h) + 2\pi r h'$，代入得$2\pi \cdot 2 \cdot (8+6) + 2\pi \cdot 4 \cdot 3 = 2\pi \cdot 2 \cdot 14 + 24\pi = 56\pi + 24\pi = 80\pi$。若答案为$128\pi$，则可能$S$公式不同，此处按计算得$80\pi$。） **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：建立圆柱体表面积公式
正圆柱体的表面积 $S$ 包括两个底面积和侧面积，公式为 $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$，其中 $r$ 为底面半径，$h$ 为高。
公式：$$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$$
提示：注意表面积包括两个底面积和侧面积
步骤 2/5
目标：对时间求导
由于 $r$ 和 $h$ 都是时间 $t$ 的函数，对 $S$ 关于 $t$ 求导：$\frac{dS}{dt} = 4\pi r \frac{dr}{dt} + 2\pi h \frac{dr}{dt} + 2\pi r \frac{dh}{dt}$。
公式：$$\frac{dS}{dt} = 4\pi r \frac{dr}{dt} + 2\pi h \frac{dr}{dt} + 2\pi r \frac{dh}{dt}$$
提示：注意乘积法则，对r和h分别求导
步骤 3/5
目标：代入已知条件
已知 $r=4\ \text{cm}$，$h=6\ \text{cm}$，$\frac{dr}{dt}=2\ \text{cm/s}$，$\frac{dh}{dt}=3\ \text{cm/s}$，代入导数表达式：$\frac{dS}{dt} = 4\pi \cdot 4 \cdot 2 + 2\pi \cdot 6 \cdot 2 + 2\pi \cdot 4 \cdot 3$。
公式：$$\frac{dS}{dt} = 4\pi r \frac{dr}{dt} + 2\pi h \frac{dr}{dt} + 2\pi r \frac{dh}{dt}$$
提示：注意代入时单位统一，避免漏项
步骤 4/5
目标：计算数值
计算各项：$4\pi \cdot 4 \cdot 2 = 32\pi$，$2\pi \cdot 6 \cdot 2 = 24\pi$，$2\pi \cdot 4 \cdot 3 = 24\pi$，求和得 $32\pi + 24\pi + 24\pi = 80\pi$。
提示：注意单位统一，计算时检查各项系数
步骤 5/5
目标：给出最终答案
因此，圆柱体表面积 $S$ 增长的速度为 $80\pi\ \text{cm}^2/\text{s}$。
公式：$$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$$
提示：注意单位统一，求导时r和h均为变量

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