kaoyan2advanced 高等数学 第33题
📝 题目
### 第33题
已知 $y^{\prime}(x)=\cos (1-x)^{2}$ ，且 $y(0)=0$ ，则 $\int_{0}^{1} y(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
建议答题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}\sin 1$ **解析**：步骤1：由$y'(x)=\cos(1-x)^{2}$及$y(0)=0$，得$y(x)=\int_{0}^{x}\cos(1-t)^{2}dt$。步骤2：$\int_{0}^{1}y(x)dx=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\cos(1-t)^{2}dt dx$，交换积分次序得$\int_{0}^{1}\int_{t}^{1}\cos(1-t)^{2}dx dt=\int_{0}^{1}(1-t)\cos(1-t)^{2}dt$。步骤3：令$u=1-t$，则$du=-dt$，积分变为$\displaystyle \int_{0}^{1}u\cos u^{2}du=\frac{1}{2}\sin u^{2}\big|_{0}^{1}=\frac{1}{2}\sin 1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：由导数与初始条件确定y(x)的表达式
由 $y'(x)=\cos(1-x)^2$ 及 $y(0)=0$，得 $y(x)=\int_0^x \cos(1-t)^2 \, dt$。
公式：$$y(x)=\int_0^x \cos(1-t)^2 \, dt$$
提示：注意积分下限由初始条件确定
步骤 2/5
目标：将所求积分转化为二重积分
$\int_0^1 y(x) \, dx = \int_0^1 \int_0^x \cos(1-t)^2 \, dt \, dx$。
公式：$$\int_0^1 y(x) \, dx = \int_0^1 \int_0^x \cos(1-t)^2 \, dt \, dx$$
提示：注意积分限的转换，先t后x
步骤 3/5
目标：交换积分次序
积分区域为 $0 \le t \le x \le 1$，交换次序得 $\int_0^1 \int_t^1 \cos(1-t)^2 \, dx \, dt = \int_0^1 (1-t) \cos(1-t)^2 \, dt$。
公式：$$\int_0^1 \int_t^1 \cos(1-t)^2 \, dx \, dt = \int_0^1 (1-t) \cos(1-t)^2 \, dt$$
提示：注意积分限变换时变量对应关系
步骤 4/5
目标：变量代换并计算积分
令 $u=1-t$，则 $du=-dt$，积分变为 $\int_0^1 u \cos u^2 \, du = \frac{1}{2} \sin u^2 \big|_0^1 = \frac{1}{2} \sin 1$。
公式：$$\int_0^1 u \cos u^2 \, du = \frac{1}{2} \sin u^2 \big|_0^1 = \frac{1}{2} \sin 1$$
提示：注意变量代换后积分限的变化
步骤 5/5
目标：得出答案
因此 $\int_0^1 y(x) \, dx = \frac{1}{2} \sin 1$。
公式：$$\int_0^1 y(x) \, dx = \frac{1}{2} \sin 1$$
提示：注意积分顺序和变量替换
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