kaoyan2advanced 高等数学 第224题
📝 题目
### 第224题
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $f^{\prime}(x) \neq 0$ ，其反函数为 $g(x)$ ，并设
$$ $\int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x^{2} \mathrm{e}^{x} .$ $$
求 $f(x)$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f(x)=x\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}$ **解析**： 步骤1：对等式两边求导，注意$g(f(x))=x$，得$g(f(x))f'(x)+f(x)=2x\mathrm{e}^x+x^2\mathrm{e}^x$，即$xf'(x)+f(x)=2x\mathrm{e}^x+x^2\mathrm{e}^x$。 步骤2：整理得$\displaystyle f'(x)+\frac{1}{x}f(x)=2\mathrm{e}^x+x\mathrm{e}^x$，解一阶线性微分方程得$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}\left(\int x(2\mathrm{e}^x+x\mathrm{e}^x)\,\mathrm{d}x+C\right)$。 步骤3：计算积分得$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}(x^2\mathrm{e}^x+C)$，由初始条件（令$x=0$代入原式）得$C=0$，故$f(x)=x\mathrm{e}^x$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：对等式两边求导
设原等式为 $\int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x^{2} \mathrm{e}^{x}$。两边对 $x$ 求导，利用变上限积分求导法则和反函数性质 $g(f(x))=x$，得：
$$g(f(x)) f'(x) + f(x) = 2x \mathrm{e}^x + x^2 \mathrm{e}^x$$
即
$$x f'(x) + f(x) = 2x \mathrm{e}^x + x^2 \mathrm{e}^x$$
公式：$$\int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x^{2} \mathrm{e}^{x}$$
提示：注意反函数性质g(f(x))=x
步骤 2/6
目标：整理为一阶线性微分方程
将上式两边除以 $x$（$x>0$ 时成立，$x=0$ 单独处理），得：
$$f'(x) + \frac{1}{x} f(x) = 2\mathrm{e}^x + x\mathrm{e}^x$$
公式：$$f'(x) + \frac{1}{x} f(x) = 2\mathrm{e}^x + x\mathrm{e}^x$$
提示：注意x=0需单独讨论
步骤 3/6
目标：解微分方程
这是一阶线性微分方程，通解公式为 $f(x) = \mathrm{e}^{-\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x} \left( \int (2\mathrm{e}^x + x\mathrm{e}^x) \mathrm{e}^{\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x} \mathrm{d}x + C \right)$。计算积分因子 $\mathrm{e}^{\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x} = x$，得：
$$f(x) = \frac{1}{x} \left( \int x(2\mathrm{e}^x + x\mathrm{e}^x) \mathrm{d}x + C \right) = \frac{1}{x} \left( \int (2x\mathrm{e}^x + x^2\mathrm{e}^x) \mathrm{d}x + C \right)$$
公式：$$f(x) = \mathrm{e}^{-\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x} \left( \int (2\mathrm{e}^x + x\mathrm{e}^x) \mathrm{e}^{\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x} \mathrm{d}x + C \right)$$
提示：注意积分因子计算和常数C的处理
步骤 4/6
目标：计算积分
计算 $\int (2x\mathrm{e}^x + x^2\mathrm{e}^x) \mathrm{d}x$。利用分部积分或观察得 $\int (x^2\mathrm{e}^x)' \mathrm{d}x = x^2\mathrm{e}^x$，因为 $(x^2\mathrm{e}^x)' = 2x\mathrm{e}^x + x^2\mathrm{e}^x$。所以：
$$\int (2x\mathrm{e}^x + x^2\mathrm{e}^x) \mathrm{d}x = x^2\mathrm{e}^x + C_1$$
代入得：
$$f(x) = \frac{1}{x}(x^2\mathrm{e}^x + C)$$
公式：$$\int (x^2 e^x)' dx = x^2 e^x$$
提示：注意分部积分与导数逆用
步骤 5/6
目标：利用初始条件确定常数
令 $x=0$ 代入原等式，左边为 $\int_{0}^{f(0)} g(t) \mathrm{d}t + \int_{0}^{0} f(t) \mathrm{d}t = \int_{0}^{f(0)} g(t) \mathrm{d}t$，右边为 $0$。由于 $g$ 是 $f$ 的反函数且 $f$ 可导，$f(0)$ 必须为 $0$ 才能使积分为 $0$（否则积分非零）。因此 $f(0)=0$。代入 $f(x)=\frac{1}{x}(x^2\mathrm{e}^x + C)$，当 $x \to 0$ 时，$f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2\mathrm{e}^x + C}{x}$，要使极限为 $0$，需 $C=0$。故 $f(x) = x\mathrm{e}^x$。
提示：注意反函数积分与初始条件结合
步骤 6/6
目标：答案
$$f(x) = x\mathrm{e}^x$$
公式：$$f(x) = x\mathrm{e}^x$$
提示：注意反函数与原函数的关系
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