kaoyan2advanced 高等数学 第223题
📝 题目
### 第223题
求 $y^{\prime \prime}+a^{2} y=\sin x$ 的通解，其中常数 $a>0$ ． 建设荅题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$ 锈估
💡 答案解析
**答案**：当$a\neq1$时，$\displaystyle y=C_1\cos ax+C_2\sin ax+\frac{1}{a^2-1}\sin x$；当$a=1$时，$\displaystyle y=C_1\cos x+C_2\sin x-\frac{x}{2}\cos x$ **解析**： 步骤1：齐次方程$y''+a^2y=0$的通解为$y_h=C_1\cos ax+C_2\sin ax$。 步骤2：设特解$y^*=A\sin x$（当$a\neq1$），代入得$-A\sin x+a^2A\sin x=\sin x$，解得$\displaystyle A=\frac{1}{a^2-1}$。 步骤3：当$a=1$时，设特解$y^*=x(A\cos x+B\sin x)$，代入得$\displaystyle B=0,A=-\frac12$，故$\displaystyle y^*=-\frac{x}{2}\cos x$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求解齐次方程的通解
齐次方程为 $y'' + a^2 y = 0$，其特征方程为 $r^2 + a^2 = 0$，解得 $r = \pm ai$。因此齐次方程的通解为 $y_h = C_1 \cos(ax) + C_2 \sin(ax)$，其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。
公式：$$r^2 + a^2 = 0$$
提示：注意特征根为共轭复根，通解形式为三角函数
步骤 2/5
目标：分类讨论非齐次项并设特解形式
非齐次项为 $\sin x$。由于 $\sin x$ 对应特征根 $\pm i$，需分两种情况：
- 当 $a \neq 1$ 时，$\pm i$ 不是特征根，设特解 $y^* = A \sin x$。
- 当 $a = 1$ 时，$\pm i$ 是特征根（重根），需设特解 $y^* = x (A \cos x + B \sin x)$。
提示：注意区分特征根是否等于非齐次项指数
步骤 3/5
目标：代入求解特解（情况一：$a \neq 1$）
将 $y^* = A \sin x$ 代入原方程：$y^{*\prime\prime} = -A \sin x$，则 $(-A \sin x) + a^2 (A \sin x) = \sin x$，即 $(a^2 - 1)A \sin x = \sin x$，解得 $A = \frac{1}{a^2 - 1}$。因此特解为 $y^* = \frac{1}{a^2 - 1} \sin x$。
公式：$$y^{*\prime\prime} + a^2 y^* = \sin x$$
提示：注意区分a=1与a≠1的情况
步骤 4/5
目标：代入求解特解（情况二：$a = 1$）
将 $y^* = x (A \cos x + B \sin x)$ 代入原方程 $y'' + y = \sin x$。计算导数：$y^{*\prime} = A \cos x + B \sin x + x(-A \sin x + B \cos x)$，$y^{*\prime\prime} = -2A \sin x + 2B \cos x + x(-A \cos x - B \sin x)$。代入得：$(-2A \sin x + 2B \cos x) = \sin x$。比较系数得 $-2A = 1$，$2B = 0$，故 $A = -\frac{1}{2}$，$B = 0$。因此特解为 $y^* = -\frac{x}{2} \cos x$。
公式：$$y^* = x (A \cos x + B \sin x)$$
提示：注意a=1时特解需乘x
步骤 5/5
目标：写出通解并给出最终答案
原方程的通解为 $y = y_h + y^*$。
- 当 $a \neq 1$ 时：$y = C_1 \cos(ax) + C_2 \sin(ax) + \frac{1}{a^2 - 1} \sin x$。
- 当 $a = 1$ 时：$y = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \frac{x}{2} \cos x$。
公式：$$y'' + a^2 y = \sin x$$
提示：注意a=1时的特解形式不同
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