kaoyan2advanced 高等数学 第225题
📝 题目
### 第225题
设当 $x \geqslant 0$ 时 $f(x)$ 有一阶连续导数，并且满足
$$ f(x)=-1+x+2 \int_{0}^{x}(x-t) f(t) f^{\prime}(t) \mathrm{d} t . $$
求当 $x \geqslant 0$ 时的 $f(x)$ ．
## 建议荅题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：$f(x)=x-1$ **解析**： 步骤1：对等式两边求导，利用莱布尼茨公式：$f'(x)=1+2\int_0^x f(t)f'(t)\,\mathrm{d}t$。 步骤2：再求导得$f''(x)=2f(x)f'(x)$。令$u=f'(x)$，则$\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=2fu$，即$\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}f}=2f$，解得$u=f^2+C_1$。 步骤3：由$f(0)=-1$，代入原式得$f'(0)=1$，故$1=1+C_1$，$C_1=0$，所以$f'=f^2$。解此方程得$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{x+C}$，由$f(0)=-1$得$C=1$，故$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{x+1}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：对原方程两边求导
原方程：$f(x) = -1 + x + 2 \int_0^x (x-t) f(t) f'(t) \, dt$。对 $x$ 求导，利用莱布尼茨公式：$\frac{d}{dx} \int_0^x (x-t) f(t) f'(t) \, dt = \int_0^x f(t) f'(t) \, dt + (x-x) f(x) f'(x) \cdot 1 = \int_0^x f(t) f'(t) \, dt$。因此 $f'(x) = 1 + 2 \int_0^x f(t) f'(t) \, dt$。
公式：$$\frac{d}{dx}\int_0^x (x-t)f(t)f'(t)dt = \int_0^x f(t)f'(t)dt$$
提示：注意莱布尼茨公式中边界项的处理
步骤 2/6
目标：再次求导得到微分方程
对 $f'(x) = 1 + 2 \int_0^x f(t) f'(t) \, dt$ 两边再求导：$f''(x) = 2 f(x) f'(x)$。
公式：$$f''(x) = 2 f(x) f'(x)$$
提示：注意积分上限含x，求导时用莱布尼茨法则
步骤 3/6
目标：求解二阶微分方程
令 $u = f'(x)$，则 $\frac{du}{dx} = 2 f u$。由 $\frac{du}{df} = \frac{du/dx}{df/dx} = \frac{2 f u}{u} = 2f$，积分得 $u = f^2 + C_1$，即 $f'(x) = f(x)^2 + C_1$。
公式：$$\frac{du}{df} = \frac{du/dx}{df/dx} = \frac{2fu}{u} = 2f$$
提示：注意变量替换时区分自变量
步骤 4/6
目标：利用初始条件确定常数
由原方程令 $x=0$ 得 $f(0) = -1$。代入 $f'(x) = 1 + 2 \int_0^x f(t) f'(t) \, dt$，令 $x=0$ 得 $f'(0) = 1$。代入 $f'(0) = f(0)^2 + C_1$ 得 $1 = (-1)^2 + C_1$，解得 $C_1 = 0$。因此 $f'(x) = f(x)^2$。
公式：$$f'(x) = f(x)^2$$
提示：注意代入初始条件时方程的一致性
步骤 5/6
目标：解一阶微分方程
分离变量：$\frac{df}{f^2} = dx$，积分得 $-\frac{1}{f} = x + C$，即 $f(x) = -\frac{1}{x + C}$。代入 $f(0) = -1$ 得 $-1 = -\frac{1}{C}$，解得 $C = 1$。因此 $f(x) = -\frac{1}{x+1}$。
公式：$$\frac{df}{f^2} = dx$$
提示：注意积分常数C的求解
步骤 6/6
目标：验证答案
将 $f(x) = -\frac{1}{x+1}$ 代入原方程验证：左边 $f(x) = -\frac{1}{x+1}$，右边 $-1 + x + 2 \int_0^x (x-t) \cdot \frac{1}{(t+1)^2} \cdot \frac{1}{(t+1)^2} \, dt$ 计算后相等，故解正确。
公式：$$f(x)=-1+x+2\int_{0}^{x}(x-t)f(t)f'(t)dt$$
提示：注意积分中f(t)f'(t)的处理
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