kaoyan2advanced 高等数学 第226题

**答案**：$y=x$ **解析**： 步骤1：由$x=\tan t$，则$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}=\frac{u'\sec t+u\sec t\tan t}{\sec^2 t}=u'\cos t+u\sin t$。 步骤2：$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(u'\cos t+u\sin t)\cdot\frac{1}{\sec^2 t}=(-u'\sin t+u''\cos t+u'\sin t+u\cos t)\cos^2 t=(u''\cos t+u\cos t)\cos^2 t$。 步骤3：代入原方程$\displaystyle (1+x^2)^2\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=y$，即$\sec^4 t\cdot (u''\cos t+u\cos t)\cos^2 t=u\sec t$，化简得$u''+u=u$，即$u''=0$。 步骤4：解得$u=C_1t+C_2$，则$y=(C_1t+C_2)\sec t$。由$x=0$时$t=0$，$y=0$得$C_2=0$；$\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|_{x=0}=C_1=1$，故$y=t\sec t$，即$y=\arctan x\cdot\sqrt{1+x^2}$。 **难度**：★★★★☆