kaoyan2advanced 高等数学 第227题
📝 题目
### 第227题
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，$f(x) \neq 0$ ，且对 $(-\infty,+\infty)$ 内的任意 $x$ 与 $y$ ，恒有 $f(x+y)=f(x) f(y)$ ．又设 $f^{\prime}(0)$ 存在，$f^{\prime}(0)=a \neq 0$ ．
试证明对一切 $x \in(-\infty,+\infty), f^{\prime}(x)$ 存在，并求 $f(x)$ 。
💡 答案解析
**答案**：$f(x)=\mathrm{e}^{ax}$ **解析**： 步骤1：由$f(x+y)=f(x)f(y)$，令$y=0$得$f(0)=1$。 步骤2：对任意$x$，$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f(x)\lim_{h\to0}\frac{f(h)-1}{h}=f(x)f'(0)=af(x)$。 步骤3：解微分方程$f'=af$得$f(x)=C\mathrm{e}^{ax}$，由$f(0)=1$得$C=1$，故$f(x)=\mathrm{e}^{ax}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定f(0)的值
在恒等式 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 中，令 $y=0$，得 $f(x)=f(x)f(0)$。由于 $f(x) \neq 0$，两边除以 $f(x)$ 得 $f(0)=1$。
公式：$$f(x+y)=f(x)f(y)$$
提示：注意f(x)≠0的条件，确保除法有效
步骤 2/4
目标：利用导数定义证明f'(x)存在
对任意 $x \in (-\infty,+\infty)$，由导数定义：
$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
$$
利用函数方程 $f(x+h)=f(x)f(h)$，得
$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x)f(h)-f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h}.
$$
由于 $f'(0)$ 存在且 $f'(0)=a$，而 $f(0)=1$，故
$$
\lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h} = f'(0) = a.
$$
因此 $f'(x)=a f(x)$ 存在。
公式：$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h} = a f(x)$$
提示：注意f(0)=1的推导
步骤 3/4
目标：求解微分方程
由 $f'(x)=a f(x)$ 得 $\frac{df}{dx}=a f$，分离变量：
$$
\frac{df}{f} = a\,dx.
$$
两边积分：
$$
\ln|f| = a x + C_1,
$$
即 $f(x)=C e^{ax}$，其中 $C=\pm e^{C_1}$ 为常数。
公式：$$\frac{df}{f} = a\,dx$$
提示：注意绝对值处理及常数合并
步骤 4/4
目标：确定常数C并给出f(x)
代入 $f(0)=1$ 得 $1 = C e^{0} = C$，故 $C=1$。因此 $f(x)=e^{ax}$。
提示：注意f(0)=1的条件是推导关键
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