kaoyan2advanced 高等数学 第228题

教材习题

📝 题目

### 第228题

函数 $y=y(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $y^{\prime} \neq 0, x=x(y)$ 是 $y=y(x)$的反函数． （1）试将 $x=x(y)$ 所满足的微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} y^{2}}+(y+\sin x)\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\right)^{3}=0$ 变换为 $y=y(x)$ 所满足的微分方程． （2）求变换后的微分方程满足初始条件 $\displaystyle y(0)=0, y^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ 的解．

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle y=\frac{1}{2}\sin x$ **解析**： 步骤1：由反函数导数关系，$\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{y'}$，$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}y^2}=-\frac{y''}{(y')^3}$。代入原方程得$\displaystyle -\frac{y''}{(y')^3}+(y+\sin x)\frac{1}{(y')^3}=0$，即$y''-y=\sin x$。 步骤2：解此二阶线性方程，齐次解$y_h=C_1\mathrm{e}^x+C_2\mathrm{e}^{-x}$，特解$\displaystyle y^*=-\frac12\sin x$，故通解$\displaystyle y=C_1\mathrm{e}^x+C_2\mathrm{e}^{-x}-\frac12\sin x$。 步骤3：由$y(0)=0$得$C_1+C_2=0$；$\displaystyle y'(0)=\frac12$得$\displaystyle C_1-C_2-\frac12=\frac12$，解得$\displaystyle C_1=\frac12,C_2=-\frac12$，故$\displaystyle y=\frac12(\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x})-\frac12\sin x=\sinh x-\frac12\sin x$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：步骤1：利用反函数导数关系变换微分方程
由反函数求导公式，$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{y'}$，$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}y^2} = -\frac{y''}{(y')^3}$。代入原方程 $\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} y^{2}}+(y+\sin x)\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}\right)^{3}=0$，得 $-\frac{y''}{(y')^3} + (y+\sin x)\frac{1}{(y')^3} = 0$。两边乘以 $(y')^3$（$y' \neq 0$），化简得 $y'' - y = \sin x$。
公式：$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{y'}, \quad \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}y^2} = -\frac{y''}{(y')^3}$$
提示：注意反函数二阶导公式符号
步骤 2/5
目标：步骤2：求解齐次方程的通解
对应齐次方程为 $y'' - y = 0$，特征方程为 $r^2 - 1 = 0$，解得 $r = \pm 1$。故齐次通解为 $y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$，其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。
公式：$$r^2 - 1 = 0$$
提示：注意特征根为±1，通解形式正确
步骤 3/5
目标：步骤3：求非齐次方程的特解
非齐次项为 $\sin x$，设特解形式 $y^* = A \sin x + B \cos x$。代入方程 $y'' - y = \sin x$，计算得 $y^*'' = -A \sin x - B \cos x$，代入得 $(-A \sin x - B \cos x) - (A \sin x + B \cos x) = -2A \sin x - 2B \cos x = \sin x$。比较系数得 $-2A = 1$，$-2B = 0$，解得 $A = -\frac{1}{2}$，$B = 0$。故特解 $y^* = -\frac{1}{2} \sin x$。
公式：$$y'' - y = \sin x$$
提示：特解形式需包含sin和cos项
步骤 4/5
目标：步骤4：写出通解并利用初始条件确定常数
非齐次方程的通解为 $y = y_h + y^* = C_1 e^x + C_2 e^{-x} - \frac{1}{2} \sin x$。由初始条件 $y(0)=0$ 得 $C_1 + C_2 = 0$。求导得 $y' = C_1 e^x - C_2 e^{-x} - \frac{1}{2} \cos x$，代入 $y'(0)=\frac{1}{2}$ 得 $C_1 - C_2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，即 $C_1 - C_2 = 1$。联立解得 $C_1 = \frac{1}{2}$，$C_2 = -\frac{1}{2}$。
公式：$$y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} - \frac{1}{2} \sin x$$
提示：注意初始条件代入时求导正确
步骤 5/5
目标：步骤5：写出最终解
代入常数得 $y = \frac{1}{2} e^x - \frac{1}{2} e^{-x} - \frac{1}{2} \sin x = \sinh x - \frac{1}{2} \sin x$。
公式：$$y = \frac{1}{2} e^x - \frac{1}{2} e^{-x} - \frac{1}{2} \sin x = \sinh x - \frac{1}{2} \sin x$$
提示：注意双曲正弦定义：sinh x = (e^x - e^{-x})/2

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