📋 详细解题步骤
目标：建立微分方程并求解f(x)和g(x)
由 $f'(x)=g(x)$ 和 $g'(x)=4e^x-f(x)$，对第一个方程求导得 $f''(x)=g'(x)=4e^x-f(x)$，即 $f''(x)+f(x)=4e^x$。解此二阶线性非齐次微分方程：齐次方程通解为 $f_h(x)=C_1\cos x+C_2\sin x$，设特解 $f_p(x)=Ae^x$，代入得 $Ae^x+Ae^x=4e^x$，解得 $A=2$，故 $f(x)=2e^x+C_1\cos x+C_2\sin x$。利用初始条件 $f(0)=0$ 得 $2+C_1=0$，$C_1=-2$；由 $f'(0)=g(0)=0$ 得 $2+C_2=0$，$C_2=-2$。因此 $f(x)=2e^x-2\cos x-2\sin x$，$g(x)=f'(x)=2e^x+2\sin x-2\cos x$。
公式：$$f''(x)+f(x)=4e^x$$
提示：注意特解形式与系数匹配
目标：化简被积函数
注意到 $\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{1+x}\right)=\frac{f'(x)(1+x)-f(x)}{(1+x)^2}=\frac{g(x)(1+x)-f(x)}{(1+x)^2}$。而原积分 $I=\int_0^{\pi/2}\left[\frac{g(x)}{1+x}-\frac{f(x)}{(1+x)^2}\right]dx=\int_0^{\pi/2}\frac{g(x)(1+x)-f(x)}{(1+x)^2}dx$，恰好等于 $\int_0^{\pi/2}\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{1+x}\right)dx$。
公式：$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{1+x}\right)=\frac{g(x)(1+x)-f(x)}{(1+x)^2}$$
提示：注意被积函数与导数形式匹配
目标：直接积分并代入上下限
因此 $I=\left[\frac{f(x)}{1+x}\right]_0^{\pi/2}=\frac{f(\pi/2)}{1+\pi/2}-\frac{f(0)}{1}$。由 $f(0)=0$，$f(\pi/2)=2e^{\pi/2}-2\cos(\pi/2)-2\sin(\pi/2)=2e^{\pi/2}-0-2=2(e^{\pi/2}-1)$，代入得 $I=\frac{2(e^{\pi/2}-1)}{1+\pi/2}$。
公式：$$I=\left[\frac{f(x)}{1+x}\right]_0^{\pi/2}=\frac{f(\pi/2)}{1+\pi/2}-\frac{f(0)}{1}$$
提示：注意代入上下限时符号和分母
目标：检查并修正错误
原解析中声称答案为0，但计算结果显示不为0。重新检查微分方程求解：由 $f''+f=4e^x$，初始条件 $f(0)=0, f'(0)=0$，解得 $f(x)=2e^x-2\cos x$，$g(x)=2e^x+2\sin x$。代入验证：$f(0)=2-2=0$，$g(0)=2+0=2$，与 $g(0)=0$ 矛盾。正确解法应为：由 $f''+f=4e^x$，通解 $f(x)=2e^x+A\cos x+B\sin x$，$f(0)=2+A=0$ 得 $A=-2$；$f'(x)=2e^x+2\sin x+B\cos x$，$f'(0)=2+B=0$ 得 $B=-2$。故 $f(x)=2e^x-2\cos x-2\sin x$，$g(x)=2e^x+2\sin x-2\cos x$。此时 $f(0)=0$，$g(0)=2-2=0$ 正确。积分结果 $I=\frac{2(e^{\pi/2}-1-\sin(\pi/2)-\cos(\pi/2))}{1+\pi/2}=\frac{2(e^{\pi/2}-1-1-0)}{1+\pi/2}=\frac{2(e^{\pi/2}-2)}{1+\pi/2}$，仍不为0。原答案0有误，正确结果应为 $\frac{2(e^{\pi/2}-2)}{1+\pi/2}$。
公式：$$f''+f=4e^x$$
提示：注意初始条件一致性