kaoyan2advanced 高等数学 第230题

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📝 题目

### 第230题

设函数 $y(x)(x \geqslant 0)$ 二阶可导，且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=1$ ．过曲线 $y=y(x)$ 上任意一定点 $P(x, y)$ 作该曲线的切线及 $x$ 轴的垂线，上述两直线与 $x$ 轴所围成的三角形的面积记为 $S_{1}$ ，区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积记为 $S_{2}$ ，并设 $2 S_{1}-S_{2}=1$ ，求此曲线的方程。

建设容题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$

## 填 空 题

💡 答案解析

**答案**：$y=\mathrm{e}^{x}$ **解析**： 步骤1：过点$P(x,y)$的切线方程为$Y-y=y'(X-x)$，与$x$轴交点为$\displaystyle (x-\frac{y}{y'},0)$，垂线为$x$轴垂线$x=X$。三角形面积$\displaystyle S_1=\frac12\cdot\frac{y}{y'}\cdot y=\frac{y^2}{2y'}$。 步骤2：曲边梯形面积$S_2=\int_0^x y(t)\,\mathrm{d}t$。条件$2S_1-S_2=1$即$\displaystyle \frac{y^2}{y'}-\int_0^x y\,\mathrm{d}t=1$。 步骤3：两边对$x$求导得$\displaystyle \frac{2yy'^2-y^2y''}{y'^2}-y=0$，即$2yy'^2-y^2y''-yy'^2=0$，整理得$yy''=y'^2$。 步骤4：令$p=y'$，则$\displaystyle y\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}=p$，解得$p=C_1y$，即$y'=C_1y$，故$y=C_2\mathrm{e}^{C_1x}$。由$y(0)=1$得$C_2=1$，代入原条件得$C_1=1$，故$y=\mathrm{e}^x$。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：步骤1：建立三角形面积 S₁ 的表达式
过点 $P(x, y)$ 的切线方程为 $Y - y = y'(X - x)$，令 $Y = 0$ 得与 $x$ 轴交点 $\left(x - \frac{y}{y'}, 0\right)$。垂线为 $x$ 轴垂线 $X = x$。三角形底边长为 $\left|x - \left(x - \frac{y}{y'}\right)\right| = \frac{y}{y'}$，高为 $y$，故 $S_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{y'} \cdot y = \frac{y^2}{2y'}$。
公式：$$S_1 = \frac{y^2}{2y'}$$
提示：注意切线方程中截距的符号
步骤 2/5
目标：步骤2：建立曲边梯形面积 S₂ 的表达式及条件方程
曲边梯形面积 $S_2 = \int_0^x y(t) \, dt$。条件 $2S_1 - S_2 = 1$ 即 $2 \cdot \frac{y^2}{2y'} - \int_0^x y \, dt = 1$，化简得 $\frac{y^2}{y'} - \int_0^x y \, dt = 1$。
公式：$$S_2 = \int_0^x y(t) \, dt$$
提示：注意S2是曲边梯形，积分变量用t避免混淆
步骤 3/5
目标：步骤3：对条件方程求导，得到微分方程
两边对 $x$ 求导：$\frac{2yy' \cdot y' - y^2 y''}{y'^2} - y = 0$，即 $\frac{2y y'^2 - y^2 y''}{y'^2} - y = 0$。整理得 $2y y'^2 - y^2 y'' - y y'^2 = 0$，即 $y y'' = y'^2$。
公式：$$\frac{2yy' \cdot y' - y^2 y''}{y'^2} - y = 0$$
提示：注意求导时y是x的函数，需用链式法则
步骤 4/5
目标：步骤4：求解微分方程
令 $p = y'$，则 $y'' = p \frac{dp}{dy}$，代入得 $y p \frac{dp}{dy} = p^2$。当 $p \neq 0$ 时，分离变量 $\frac{dp}{p} = \frac{dy}{y}$，积分得 $\ln|p| = \ln|y| + \ln C_1$，即 $p = C_1 y$，故 $y' = C_1 y$。解得 $y = C_2 e^{C_1 x}$。
公式：$$y'' = p \frac{dp}{dy}$$
提示：注意分离变量时p≠0的条件
步骤 5/5
目标：步骤5：利用初始条件确定常数
由 $y(0) = 1$ 得 $C_2 = 1$，故 $y = e^{C_1 x}$。代入原条件 $\frac{y^2}{y'} - \int_0^x y \, dt = 1$，计算得 $\frac{e^{2C_1 x}}{C_1 e^{C_1 x}} - \int_0^x e^{C_1 t} \, dt = \frac{e^{C_1 x}}{C_1} - \frac{e^{C_1 x} - 1}{C_1} = \frac{1}{C_1} = 1$，所以 $C_1 = 1$。因此曲线方程为 $y = e^x$。
公式：$$\frac{y^2}{y'} - \int_0^x y \, dt = 1$$
提示：注意代入后积分和化简的准确性

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