kaoyan2advanced 高等数学 第220题
📝 题目
### 第220题
计算二重积分 $I=\iint_{D}|3 x+4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ． 建议荅题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{4}{3}$ **解析**： 步骤1：区域$D$为单位圆，被积函数$|3x+4y|$。由对称性，$I=2\iint_{D_1} (3x+4y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D_1$为$3x+4y\geq 0$的半圆。 步骤2：作旋转坐标变换$\displaystyle u=\frac{3x+4y}{5}, v=\frac{-4x+3y}{5}$，则雅可比行列式为$1$，区域变为$u^2+v^2\leq 1$，且$D_1$对应$u\geq 0$。 步骤3：$I=2\iint_{u^2+v^2\leq 1, u\geq 0} 5u\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v=10\int_0^1 u\cdot 2\sqrt{1-u^2}\,\mathrm{d}u=20\int_0^1 u\sqrt{1-u^2}\,\mathrm{d}u$ $$=20\cdot\frac{1}{3}=\frac{20}{3}$$ （注意：原题答案为$\displaystyle \frac{4}{3}$，需检查计算） **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用对称性简化积分
积分区域 $D$ 是单位圆 $x^2+y^2 \leq 1$，被积函数 $|3x+4y|$ 关于直线 $3x+4y=0$ 对称。因此，积分等于 $2$ 倍在 $3x+4y \geq 0$ 的半圆 $D_1$ 上的积分，即 $I = 2 \iint_{D_1} (3x+4y) \, \mathrm{d}x \mathrm{d}y$。
提示：注意对称性使用条件：区域对称且被积函数绝对值对称
步骤 2/4
目标：作旋转坐标变换
令 $u = \frac{3x+4y}{5}$，$v = \frac{-4x+3y}{5}$，则变换的雅可比行列式为 $1$。区域 $D$ 变为 $u^2+v^2 \leq 1$，且 $D_1$ 对应 $u \geq 0$。被积函数 $3x+4y = 5u$，于是 $I = 2 \iint_{u^2+v^2 \leq 1, \, u \geq 0} 5u \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v = 10 \iint_{u^2+v^2 \leq 1, \, u \geq 0} u \, \mathrm{d}u \mathrm{d}v$。
公式：$$\iint_{D} |3x+4y| \, dxdy = 10 \iint_{u^2+v^2 \leq 1, u \geq 0} u \, dudv$$
提示：注意雅可比行列式为1，被积函数替换为5|u|
步骤 3/4
目标：化为累次积分并计算
在极坐标下，$u = r \cos \theta$，$v = r \sin \theta$，$u \geq 0$ 对应 $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。则 $I = 10 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^1 r \cos \theta \cdot r \, \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta = 10 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \theta \, \mathrm{d}\theta \int_0^1 r^2 \, \mathrm{d}r = 10 \cdot [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} \cdot \frac{1}{3} = 10 \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{20}{3}$。
公式：$$I = \iint_D |3x+4y| \, dxdy = 10 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta \, d\theta \int_0^1 r^2 \, dr$$
提示：注意极坐标变换中雅可比行列式为r
步骤 4/4
目标：得出最终答案
因此，二重积分 $I = \frac{20}{3}$。注意：原题答案 $\frac{4}{3}$ 有误，正确结果为 $\frac{20}{3}$。
公式：$$I = \iint_{D} |3x+4y| \, dxdy$$
提示：注意绝对值处理，对称性简化计算
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