kaoyan2advanced 高等数学 第82题
📝 题目
### 第82题
82设函数 $\displaystyle \varphi(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}\left(2+\sin \frac{1}{x}\right), & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 且函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则函数 $f(\varphi(x))$ 在 $x=0$ 处 （A）不连续． （B）连续但不可导． （C）可导且导数为 0 ． （D）可导且导数不为 0 ．
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💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$\varphi(0)=0$，且$\lim_{x\to0}\varphi(x)=0$，故$\varphi(x)$在$x=0$处连续。步骤2：$f(x)$在$x=0$处可导，则$f(\varphi(x))$在$x=0$处可导，由链式法则$[f(\varphi(0))]'=f'(0)\varphi'(0)$。步骤3：计算$\displaystyle \varphi'(0)=\lim_{x\to0}\frac{x^2(2+\sin\frac1x)-0}{x}=0$，故导数为0。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：分析函数 φ(x) 在 x=0 处的连续性
已知 φ(0)=0，且当 x≠0 时，φ(x)=x^2(2+sin(1/x))。由于 |x^2(2+sin(1/x))| ≤ 3x^2，由夹逼定理得 lim_{x→0} φ(x)=0=φ(0)，故 φ(x) 在 x=0 处连续。
公式：$$\lim_{x \to 0} x^2 \left(2 + \sin \frac{1}{x}\right) = 0$$
提示：注意夹逼定理中放缩的准确性
步骤 2/5
目标：步骤2：利用复合函数可导的链式法则
已知 f(x) 在 x=0 处可导，且 φ(x) 在 x=0 处连续。若 φ(x) 在 x=0 处可导，则复合函数 f(φ(x)) 在 x=0 处可导，且导数为 f'(φ(0))·φ'(0)=f'(0)·φ'(0)。
公式：$$(f(\varphi(x)))'|_{x=0}=f'(\varphi(0))\cdot\varphi'(0)=f'(0)\cdot\varphi'(0)$$
提示：注意复合函数求导时内层函数需可导
步骤 3/5
目标：步骤3：计算 φ'(0)
由导数定义：φ'(0)=lim_{x→0} [φ(x)-φ(0)]/(x-0)=lim_{x→0} [x^2(2+sin(1/x))]/x=lim_{x→0} x(2+sin(1/x))。由于 |x(2+sin(1/x))| ≤ 3|x|，由夹逼定理得极限为0，故 φ'(0)=0。
公式：$$\varphi'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{x-0}$$
提示：注意夹逼定理的使用条件
步骤 4/5
目标：步骤4：计算复合函数的导数
由链式法则，[f(φ(x))]'|_{x=0}=f'(0)·φ'(0)=f'(0)·0=0。因此 f(φ(x)) 在 x=0 处可导，且导数为0。
公式：$$[f(\varphi(x))]'|_{x=0}=f'(0)\cdot\varphi'(0)$$
提示：注意复合函数求导时内层函数需可导
步骤 5/5
目标：步骤5：得出最终答案
根据以上分析，函数 f(φ(x)) 在 x=0 处可导且导数为0，对应选项（C）。
提示：注意复合函数可导性条件
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