kaoyan2advanced 高等数学 第81题
📝 题目
### 第81题
设定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数 $f(x)$ 的图形关于 $x=0$ 与 $x=1$ 均对称，则下列命题中，正确命题为 （1）若 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数． （2）若 $\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数． （3） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-x \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数． （4） $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\frac{x}{2} \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数． （A）（2）（3）． （B）（2）（4）． （C）（1）（2）（3）． （D）（1）（2）（4）．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：由$f(x)$关于$x=0$和$x=1$对称，得$f(-x)=f(x)$，$f(1+x)=f(1-x)$，可推出$f(x+2)=f(x)$，即$f(x)$以2为周期。步骤2：令$F(x)=\int_0^x f(t)dt$，则$F(x+2)-F(x)=\int_x^{x+2}f(t)dt$，由周期性知该积分为常数。步骤3：若$\int_0^1 f(x)dx=0$，则$\int_0^2 f(x)dx=2\int_0^1 f(x)dx=0$，故$F(x+2)-F(x)=0$，$F(x)$周期，命题(1)正确。步骤4：若$\int_0^2 f(x)dx=0$，同理$F(x)$周期，命题(2)正确。步骤5：考虑$\displaystyle G(x)=F(x)-\frac{x}{2}\int_0^2 f(t)dt$，则$G(x+2)-G(x)=\int_x^{x+2}f(t)dt-\int_0^2 f(t)dt=0$，故$G(x)$周期，命题(4)正确，而(3)中系数为$x$时周期不成立。综上，(1)(2)(4)正确。 **难度**：★★★☆☆