kaoyan2advanced 高等数学 第80题
📝 题目
### 第80题
某地区的人口增长速度与当前该地区的人口成正比．若两年后，人口增加一倍；三年后，人口是 20000 人，则该地区最初的人口数约为 $\_\_\_\_$。
$\leqslant 5 \mathrm{~min}$
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💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：设人口函数为$P(t)$，由题意$\displaystyle \frac{dP}{dt}=kP$，解得$P(t)=P_0e^{kt}$。步骤2：两年后人口增加一倍，即$P(2)=2P_0$，得$e^{2k}=2$，$\displaystyle k=\frac{\ln2}{2}$。步骤3：三年后人口为20000，即$P(3)=P_0e^{3k}=P_0\cdot2^{3/2}=20000$，解得$\displaystyle P_0=\frac{20000}{2^{3/2}}\approx7071$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立微分方程并求解
设人口函数为 $P(t)$，由题意人口增长速度与当前人口成正比，得微分方程 $\frac{dP}{dt}=kP$，其中 $k$ 为比例常数。解此方程得 $P(t)=P_0 e^{kt}$，$P_0$ 为初始人口数。
公式：$$\frac{dP}{dt}=kP, \quad P(t)=P_0 e^{kt}$$
提示：注意指数增长模型的应用
步骤 2/4
目标：利用两年后人口翻倍条件求k
两年后人口增加一倍，即 $P(2)=2P_0$，代入通解：$P_0 e^{2k}=2P_0$，得 $e^{2k}=2$，两边取自然对数：$2k=\ln 2$，解得 $k=\frac{\ln 2}{2}$。
公式：$$P(t)=P_0 e^{kt}$$
提示：注意翻倍条件代入后消去P0
步骤 3/4
目标：利用三年后人口数求初始人口
三年后人口为20000人，即 $P(3)=20000$，代入通解：$P_0 e^{3k}=20000$，将 $k=\frac{\ln 2}{2}$ 代入得 $P_0 e^{3\cdot \frac{\ln 2}{2}}=P_0 e^{\frac{3}{2}\ln 2}=P_0 \cdot 2^{3/2}=20000$，解得 $P_0=\frac{20000}{2^{3/2}}=\frac{20000}{\sqrt{8}}=\frac{20000}{2\sqrt{2}}=\frac{10000}{\sqrt{2}}=5000\sqrt{2}\approx 7071$。
公式：$$P(t)=P_0 e^{kt}$$
提示：注意指数运算中ln2与2^{3/2}的转换
步骤 4/4
目标：给出最终答案
因此，该地区最初的人口数约为 $7071$ 人。
公式：$$P(t) = P_0 e^{kt}$$
提示：注意指数增长模型中的时间单位一致性
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