kaoyan2advanced 高等数学 第78题
📝 题目
### 第78题
方程 $y^{\prime \prime}-y=\mathrm{e}^{x}+4 \cos x$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
锷估 熟䋘
793 阶常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ 的通解是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y=C_1e^{-x}+C_2e^{x}+\frac{1}{2}xe^{x}-2\cos x$（第一空）；$y=C_1e^{x}+C_2xe^{x}+C_3e^{-x}$（第二空） **解析**：步骤1：对于方程$y''-y=e^{x}+4\cos x$，齐次方程$y''-y=0$的特征方程为$r^2-1=0$，解得$r=\pm1$，齐次通解为$y_h=C_1e^{-x}+C_2e^{x}$。步骤2：设特解形式$y^*=Axe^{x}+B\cos x+C\sin x$，代入原方程比较系数得$\displaystyle A=\frac{1}{2},B=-2,C=0$，故特解$\displaystyle y^*=\frac{1}{2}xe^{x}-2\cos x$，通解为$\displaystyle y=C_1e^{-x}+C_2e^{x}+\frac{1}{2}xe^{x}-2\cos x$。步骤3：对于方程$y'''-y''-y'+y=0$，特征方程为$r^3-r^2-r+1=0$，即$(r-1)^2(r+1)=0$，解得$r=1$（二重根），$r=-1$，通解为$y=C_1e^{x}+C_2xe^{x}+C_3e^{-x}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：求解齐次方程的通解
对于方程 $y'' - y = e^x + 4\cos x$，先解对应的齐次方程 $y'' - y = 0$。特征方程为 $r^2 - 1 = 0$，解得 $r = \pm 1$。因此齐次通解为 $y_h = C_1 e^{-x} + C_2 e^{x}$。
公式：$$r^2-1=0$$
提示：特征根为±1，注意齐次通解形式
步骤 2/6
目标：步骤2：设特解形式
非齐次项为 $e^x + 4\cos x$。由于 $e^x$ 是齐次解的一部分，需乘以 $x$；$\cos x$ 不是齐次解。设特解形式为 $y^* = A x e^{x} + B \cos x + C \sin x$。
公式：$$y^* = A x e^{x} + B \cos x + C \sin x$$
提示：注意e^x是齐次解，需乘x修正
步骤 3/6
目标：步骤3：代入原方程求待定系数
计算 $y^*$ 的导数：$y^{*\prime} = A e^{x} + A x e^{x} - B \sin x + C \cos x$，$y^{*\prime\prime} = 2A e^{x} + A x e^{x} - B \cos x - C \sin x$。代入原方程 $y'' - y = e^x + 4\cos x$ 得：$(2A e^{x} + A x e^{x} - B \cos x - C \sin x) - (A x e^{x} + B \cos x + C \sin x) = 2A e^{x} - 2B \cos x - 2C \sin x = e^x + 4\cos x$。比较系数得：$2A = 1$，$-2B = 4$，$-2C = 0$，解得 $A = \frac{1}{2}$，$B = -2$，$C = 0$。
公式：$$y'' - y = e^x + 4\cos x$$
提示：注意特解形式中xe^x的系数
步骤 4/6
目标：步骤4：写出非齐次方程的通解
特解为 $y^* = \frac{1}{2} x e^{x} - 2\cos x$。因此原方程的通解为 $y = y_h + y^* = C_1 e^{-x} + C_2 e^{x} + \frac{1}{2} x e^{x} - 2\cos x$。
公式：$$y = y_h + y^*$$
提示：注意特解形式与齐次解线性无关
步骤 5/6
目标：步骤5：求解第二个方程的通解
对于方程 $y''' - y'' - y' + y = 0$，特征方程为 $r^3 - r^2 - r + 1 = 0$。因式分解得 $(r-1)^2 (r+1) = 0$，解得 $r = 1$（二重根），$r = -1$。因此通解为 $y = C_1 e^{x} + C_2 x e^{x} + C_3 e^{-x}$。
公式：$$r^3 - r^2 - r + 1 = (r-1)^2 (r+1) = 0$$
提示：注意二重根对应项需乘以x
步骤 6/6
目标：步骤6：给出最终答案
第一空：$\displaystyle y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{x} + \frac{1}{2} x e^{x} - 2\cos x$；第二空：$y = C_1 e^{x} + C_2 x e^{x} + C_3 e^{-x}$。
公式：$$y'' - y = e^x + 4\cos x$$
提示：注意特解形式的选择，避免遗漏项
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。