kaoyan2advanced 高等数学 第77题
📝 题目
### 第77题
设 $y=\left(C_{1}+x\right) \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}$ 是 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=g \mathrm{e}^{a x}$ 的通解，则常数 $a, b, c, g$ 分别是 $\_\_\_\_$ ， $\_\_\_\_$ ， $\_\_\_\_$ ， $\_\_\_\_$ ． 建议器题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：$a=0, b=-1, c=1, g=2$ **解析**： 步骤1：通解$y=(C_1+x)e^x + C_2 e^{-x}$对应齐次解$C_1 e^x + C_2 e^{-x}$和特解$xe^x$，故特征根$r=1, -1$，特征方程$r^2 -1=0$，得$a=0, b=-1$。 步骤2：特解$xe^x$对应非齐次项$g e^{ax}$，代入微分方程$y'' - y = g e^{ax}$，设$y_p = x e^x$，则$y_p'' - y_p = 2e^x$，故$g=2, a=1$。 步骤3：综上$a=0, b=-1, c=1, g=2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析通解结构，确定齐次解与特解
通解 $y=(C_1+x)e^x + C_2 e^{-x}$ 可分解为齐次解 $C_1 e^x + C_2 e^{-x}$ 和特解 $x e^x$。齐次解对应特征根 $r=1$ 和 $r=-1$。
公式：$$y = (C_1 + x)e^x + C_2 e^{-x}$$
提示：注意区分齐次解与特解形式
步骤 2/4
目标：由特征根确定特征方程及系数a, b
特征根 $r_1=1, r_2=-1$，特征方程为 $(r-1)(r+1)=r^2-1=0$。对应微分方程 $y''+ay'+by=0$ 的特征方程为 $r^2+ar+b=0$，比较得 $a=0, b=-1$。
公式：$$(r-1)(r+1)=r^2-1=0$$
提示：注意特征根与方程系数的对应关系
步骤 3/4
目标：代入特解确定非齐次项参数
非齐次项为 $g e^{ax}$，已知特解 $y_p=x e^x$，代入方程 $y'' - y = g e^{ax}$。计算 $y_p' = e^x + x e^x$，$y_p'' = 2e^x + x e^x$，则 $y_p'' - y_p = (2e^x + x e^x) - x e^x = 2e^x$。因此 $2e^x = g e^{ax}$，得 $g=2, a=1$。
公式：$$y_p'' - y_p = 2e^x = g e^{ax}$$
提示：注意特解代入时区分齐次与非齐次
步骤 4/4
目标：汇总结果
常数 $a=0, b=-1, c=1, g=2$。
提示：注意常数对应关系
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