kaoyan2advanced 高等数学 第76题
📝 题目
### 第76题
设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+(x-1) y^{\prime}+x^{2} y=\mathrm{e}^{x}$ 且 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)-x}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：由$y(0)=0, y'(0)=1$，将$y(x)$在$x=0$处泰勒展开：$\displaystyle y(x)=x + \frac{y''(0)}{2}x^2 + o(x^2)$。 步骤2：代入原方程$x=0$得$y''(0) + (0-1)y'(0) + 0 = e^0$，即$y''(0) -1 = 1$，故$y''(0)=2$。 步骤3：$\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{y(x)-x}{x^2} = \frac{y''(0)}{2} = 1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：泰勒展开
由 $y(0)=0, y'(0)=1$，将 $y(x)$ 在 $x=0$ 处泰勒展开：$y(x)=x + \frac{y''(0)}{2}x^2 + o(x^2)$。
公式：$$y(x)=y(0)+y'(0)x+\frac{y''(0)}{2}x^2+o(x^2)$$
提示：注意泰勒展开的余项和系数计算
步骤 2/3
目标：代入原方程求 $y''(0)$
将 $x=0$ 代入原方程 $y'' + (x-1)y' + x^2 y = e^x$，得 $y''(0) + (0-1)y'(0) + 0 = e^0$，即 $y''(0) - 1 = 1$，解得 $y''(0)=2$。
公式：$$y''(0) + (0-1)y'(0) + 0 = e^0$$
提示：注意代入时各项系数和初始值
步骤 3/3
目标：计算极限
代入泰勒展开式：$\lim_{x \to 0} \frac{y(x)-x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{y''(0)}{2}x^2 + o(x^2)}{x^2} = \frac{y''(0)}{2} = \frac{2}{2} = 1$。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{y(x)-x}{x^2} = \frac{y''(0)}{2}$$
提示：注意泰勒展开到二阶项
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