kaoyan2advanced 高等数学 第75题
📝 题目
### 第75题
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=$\mathrm{e}^{-3 x}$ 的通解为 $y=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y = C_1 \mathrm{e}^{x} + C_2 \mathrm{e}^{-3x} - \frac{1}{4} \mathrm{e}^{-3x} x$ **解析**： 步骤1：特征方程$r^2+2r-3=0$，根$r=1, -3$，齐次解$y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-3x}$。 步骤2：特解设$y_p = Ax e^{-3x}$，代入得$\displaystyle A = -\frac{1}{4}$。 步骤3：通解$\displaystyle y = C_1 e^x + C_2 e^{-3x} - \frac{1}{4}x e^{-3x}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出特征方程并求解
对于二阶常系数线性齐次微分方程 $y''+2y'-3y=0$，其特征方程为 $r^2+2r-3=0$。解得 $r_1=1$，$r_2=-3$。
公式：$$r^2+2r-3=0$$
提示：注意特征方程系数对应正确
步骤 2/6
目标：写出齐次通解
根据特征根，齐次通解为 $y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{-3x}$，其中 $C_1$、$C_2$ 为任意常数。
公式：$$y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{-3x}$$
提示：注意特征根符号，避免写反
步骤 3/6
目标：设特解形式
非齐次项为 $e^{-3x}$，而 $-3$ 是特征根，故设特解 $y_p = A x e^{-3x}$。
公式：$$y_p = A x e^{-3x}$$
提示：注意-3是单根，设特解乘x
步骤 4/6
目标：代入原方程求待定系数
计算 $y_p' = A e^{-3x} - 3A x e^{-3x}$，$y_p'' = -6A e^{-3x} + 9A x e^{-3x}$。代入原方程 $y''+2y'-3y = e^{-3x}$，得 $(-6A e^{-3x} + 9A x e^{-3x}) + 2(A e^{-3x} - 3A x e^{-3x}) - 3(A x e^{-3x}) = e^{-3x}$。化简得 $(-6A + 2A) e^{-3x} + (9A - 6A - 3A) x e^{-3x} = e^{-3x}$，即 $-4A e^{-3x} = e^{-3x}$。解得 $A = -\frac{1}{4}$。
提示：注意特解形式中x的幂次
步骤 5/6
目标：写出特解
特解为 $y_p = -\frac{1}{4} x e^{-3x}$。
公式：$$y_p = -\frac{1}{4} x e^{-3x}$$
提示：注意特解形式与齐次解的关系
步骤 6/6
目标：写出通解并给出答案
原方程的通解为 $y = y_h + y_p = C_1 e^{x} + C_2 e^{-3x} - \frac{1}{4} x e^{-3x}$。
公式：$$y''+2y'-3y=e^{-3x}$$
提示：注意非齐次项与齐次解重复时需乘x
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