kaoyan2advanced 高等数学 第74题
📝 题目
### 第74题
$\displaystyle 74(x+y) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y+1=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle x = \frac{C}{y+1} - \frac{y}{2}$ **解析**： 步骤1：方程化为$\displaystyle (x+y)\frac{dy}{dx} + y+1=0$，即$\displaystyle \frac{dx}{dy} = -\frac{x+y}{y+1} = -\frac{x}{y+1} - \frac{y}{y+1}$。 步骤2：一阶线性方程，通解$\displaystyle x = e^{-\int \frac{1}{y+1} dy} \left( \int -\frac{y}{y+1} e^{\int \frac{1}{y+1} dy} dy + C \right) = \frac{1}{y+1} \left( \int -y \,dy + C \right) = \frac{1}{y+1} \left( -\frac{y^2}{2} + C \right)$。 步骤3：整理得$\displaystyle x = \frac{C}{y+1} - \frac{y}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将方程化为关于x(y)的一阶线性微分方程
原方程：$(x+y)\frac{dy}{dx}+y+1=0$。将$\frac{dy}{dx}$视为$\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$，则方程化为：$(x+y)\frac{1}{\frac{dx}{dy}}+y+1=0$，即$\frac{dx}{dy}=-\frac{x+y}{y+1}=-\frac{x}{y+1}-\frac{y}{y+1}$。
公式：$$\frac{dx}{dy} = -\frac{x}{y+1} - \frac{y}{y+1}$$
提示：注意将dy/dx转化为1/(dx/dy)
步骤 2/4
目标：求解一阶线性微分方程
方程$\frac{dx}{dy}+\frac{1}{y+1}x=-\frac{y}{y+1}$。通解公式：$x=e^{-\int P(y)dy}\left(\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy+C\right)$，其中$P(y)=\frac{1}{y+1}$，$Q(y)=-\frac{y}{y+1}$。计算：$\int P(y)dy=\ln|y+1|$，$e^{\int P(y)dy}=y+1$，$e^{-\int P(y)dy}=\frac{1}{y+1}$。代入得：$x=\frac{1}{y+1}\left(\int -\frac{y}{y+1}\cdot(y+1)dy+C\right)=\frac{1}{y+1}\left(\int -y dy+C\right)$。
公式：$$x=e^{-\int P(y)dy}\left(\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy+C\right)$$
提示：注意将x视为y的函数，正确识别P(y)和Q(y)。
步骤 3/4
目标：计算积分并整理通解
$\int -y dy=-\frac{y^2}{2}$，所以$x=\frac{1}{y+1}\left(-\frac{y^2}{2}+C\right)=\frac{C}{y+1}-\frac{y}{2}$。
公式：$$\int -y dy = -\frac{y^2}{2}$$
提示：注意积分常数C的位置
步骤 4/4
目标：得出最终答案
通解为：$x = \frac{C}{y+1} - \frac{y}{2}$，其中$C$为任意常数。
公式：$$(x+y) \frac{dy}{dx} + y + 1 = 0$$
提示：注意变量分离和积分常数处理
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