kaoyan2advanced 高等数学 第73题
📝 题目
### 第73题
$\displaystyle \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y}{x+y^{2}}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．$ 建议荅题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}
💡 答案解析
**答案**：$x = y^2 + Cy$ **解析**： 步骤1：将$x$视为$y$的函数，方程化为$\displaystyle \frac{dx}{dy} = \frac{x+y^2}{y} = \frac{x}{y} + y$。 步骤2：一阶线性方程，通解$\displaystyle x = e^{\int \frac{1}{y} dy} \left( \int y e^{-\int \frac{1}{y} dy} dy + C \right) = y \left( \int 1 \,dy + C \right) = y(y+C) = y^2 + Cy$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将方程转化为以x为因变量的形式
原方程为 $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x+y^2}$，将其改写为 $\frac{dx}{dy} = \frac{x+y^2}{y} = \frac{x}{y} + y$。
公式：$$\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} + y$$
提示：注意变量角色互换
步骤 2/6
目标：识别为一阶线性微分方程
方程 $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = y$ 是关于 $x$ 的一阶线性微分方程，其中 $P(y) = -\frac{1}{y}$，$Q(y) = y$。
公式：$$\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$$
提示：注意将x视为y的函数，不要混淆变量
步骤 3/6
目标：求解对应的齐次方程
齐次方程 $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 0$ 的通解为 $x = C y$。
公式：$$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 0$$
提示：注意将方程转化为以y为自变量
步骤 4/6
目标：使用常数变易法求特解
设 $x = u(y) y$，代入原方程得 $u'y + u - u = y$，即 $u' = 1$，积分得 $u = y + C$。
公式：$$x = u(y) y$$
提示：注意变量角色互换
步骤 5/6
目标：写出通解
因此 $x = y \cdot (y + C) = y^2 + Cy$。
公式：$$x = y^2 + Cy$$
提示：注意常数C的任意性
步骤 6/6
目标：最终答案
通解为 $x = y^2 + Cy$，其中 $C$ 为任意常数。
提示：注意将x视为y的函数求解
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