kaoyan2advanced 高等数学 第72题
📝 题目
### 第72题
x y^{\prime}=y($\ln y-\ln x)$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．$
建设荅题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$ 铼估$
💡 答案解析
**答案**：$y = x \mathrm{e}^{Cx+1}$ **解析**： 步骤1：方程化为$\displaystyle y' = \frac{y}{x} \ln\frac{y}{x}$，令$\displaystyle u=\frac{y}{x}$，则$y'=u+xu'$，代入得$u+xu' = u\ln u$。 步骤2：分离变量$\displaystyle \frac{du}{u(\ln u -1)} = \frac{dx}{x}$，积分得$\ln|\ln u -1| = \ln|x| + C$，即$\ln u -1 = Cx$。 步骤3：回代$\displaystyle u=\frac{y}{x}$得$\displaystyle \ln\frac{y}{x} = Cx+1$，故$y = x\mathrm{e}^{Cx+1}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：步骤1：方程变形与变量代换
原方程 $x y' = y(\ln y - \ln x)$ 可化为 $y' = \frac{y}{x} \ln\frac{y}{x}$。令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，求导得 $y' = u + x u'$。代入方程得 $u + x u' = u \ln u$。
公式：$$y' = \frac{y}{x} \ln\frac{y}{x}, \quad u = \frac{y}{x}, \quad y' = u + x u'$$
提示：注意齐次方程特征，代换后正确求导。
步骤 2/4
目标：步骤2：分离变量并积分
整理得 $x u' = u(\ln u - 1)$，即 $\frac{du}{u(\ln u - 1)} = \frac{dx}{x}$。两边积分：$\int \frac{du}{u(\ln u - 1)} = \int \frac{dx}{x}$。令 $t = \ln u - 1$，则 $dt = \frac{du}{u}$，积分得 $\ln|t| = \ln|x| + C$，即 $\ln|\ln u - 1| = \ln|x| + C$。
公式：$$\int \frac{du}{u(\ln u - 1)} = \int \frac{dx}{x}$$
提示：注意换元后积分常数的处理
步骤 3/4
目标：步骤3：化简并回代
去掉对数得 $\ln u - 1 = Cx$（其中 $C$ 为任意常数）。回代 $u = \frac{y}{x}$ 得 $\ln\frac{y}{x} - 1 = Cx$，即 $\ln\frac{y}{x} = Cx + 1$。
提示：注意回代时不要遗漏常数项
步骤 4/4
目标：步骤4：写出通解
指数化得 $\frac{y}{x} = e^{Cx+1}$，故通解为 $y = x e^{Cx+1}$。
公式：$$\frac{y}{x} = e^{Cx+1}$$
提示：注意指数化时不要遗漏常数项
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