kaoyan2advanced 高等数学 第83题

教材习题

📝 题目

### 第83题

设 $\displaystyle \alpha_{1}=\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}, \alpha_{2}=\int_{0}^{x^{4}} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} \mathrm{~d} t, \alpha_{3}=\int_{0}^{x} \mathrm{~d} u \int_{0}^{u^{2}} \arctan t \mathrm{~d} t$ ．当 $x$ → 0 时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的顺序是 （A）$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ． （B）$\alpha_{1}, \alpha_{3}, \alpha_{2}$ ． （C）$\alpha_{2}, \alpha_{1}, \alpha_{3}$ ． （D）$\alpha_{3}, \alpha_{1}, \alpha_{2}$ ．

💡 答案解析

**答案**：B **解析**：步骤1：$\displaystyle \alpha_1=\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}=\frac{\tan x-\sin x}{\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}}\sim\frac{x^3}{4}$（$x\to0$），阶数为3。步骤2：$\displaystyle \alpha_2=\int_0^{x^4}\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\sim x^4$（$x\to0$），阶数为4。步骤3：$\displaystyle \alpha_3=\int_0^x du\int_0^{u^2}\arctan t dt\sim\int_0^x du\int_0^{u^2}t dt=\int_0^x\frac{u^4}{2}du=\frac{x^5}{10}$，阶数为5。步骤4：按阶数从小到大（低阶到高阶）为$\alpha_1,\alpha_3,\alpha_2$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：化简α₁并确定其阶数
$$\alpha_1 = \sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x} = \frac{\tan x - \sin x}{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}}$$ 当 $x \to 0$ 时，$\tan x \sim x + \frac{x^3}{3}$，$\sin x \sim x - \frac{x^3}{6}$，故 $\tan x - \sin x \sim \frac{x^3}{2}$，分母 $\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x} \to 2$，因此 $\alpha_1 \sim \frac{x^3}{4}$，阶数为3。
公式：$$\alpha_1 = \frac{\tan x - \sin x}{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}}$$
提示：注意分子有理化后等价无穷小替换
步骤 2/5
目标：化简α₂并确定其阶数
$$\alpha_2 = \int_0^{x^4} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \, dt$$ 当 $x \to 0$ 时，被积函数 $\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \sim 1$，故 $\alpha_2 \sim \int_0^{x^4} 1 \, dt = x^4$，阶数为4。
公式：$$\alpha_2 = \int_0^{x^4} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \, dt \sim \int_0^{x^4} 1 \, dt = x^4$$
提示：注意被积函数等价替换时t→0的条件
步骤 3/5
目标：化简α₃并确定其阶数
$$\alpha_3 = \int_0^x du \int_0^{u^2} \arctan t \, dt$$ 当 $t \to 0$ 时，$\arctan t \sim t$，故内层积分 $\int_0^{u^2} \arctan t \, dt \sim \int_0^{u^2} t \, dt = \frac{u^4}{2}$，于是 $\alpha_3 \sim \int_0^x \frac{u^4}{2} \, du = \frac{x^5}{10}$，阶数为5。
公式：$$\arctan t \sim t \quad (t \to 0)$$
提示：注意等价无穷小替换的适用条件
步骤 4/5
目标：比较阶数并排序
三个无穷小的阶数分别为：$\alpha_1$ 阶数3，$\alpha_2$ 阶数4，$\alpha_3$ 阶数5。从低阶到高阶（即阶数从小到大）的顺序为：$\alpha_1$（阶数3），$\alpha_3$（阶数5），$\alpha_2$（阶数4）。注意：阶数越大，无穷小趋于0的速度越快，因此低阶对应较小的阶数。
提示：注意阶数越大，无穷小趋于0越快，排序时低阶在前。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，从低阶到高阶的顺序是 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_2$，对应选项（B）。
提示：注意比较无穷小的阶数时，需展开到足够高阶。

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