kaoyan2advanced 高等数学 第137题
📝 题目
### 第137题
设 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则 （A）$f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续． （B）$f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微． （C） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)$ 存在． （D） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x, y)$ 存在． $y \rightarrow y_{0}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：偏导数存在只能保证沿坐标轴方向极限存在，即$\lim_{x\to x_0} f(x,y_0)$存在，但不能保证全面极限存在或连续可微。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件
已知 $f_x'(x_0, y_0)$ 和 $f_y'(x_0, y_0)$ 都存在，即函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数存在。
提示：偏导存在不能推出连续
步骤 2/6
目标：理解偏导数存在的含义
偏导数存在仅意味着沿坐标轴方向（即 $y=y_0$ 或 $x=x_0$ 的直线）的极限存在。具体地，$f_x'(x_0, y_0)$ 存在等价于极限 $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x, y_0) - f(x_0, y_0)}{x - x_0}$ 存在，从而 $\lim_{x \to x_0} f(x, y_0) = f(x_0, y_0)$ 存在。
公式：$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x, y_0) - f(x_0, y_0)}{x - x_0}$$
提示：偏导存在仅保证沿坐标轴方向连续
步骤 3/6
目标：分析选项（A）连续性
偏导数存在不能保证函数在该点连续。反例：$f(x,y) = \begin{cases} 0, & xy=0 \\ 1, & xy \neq 0 \end{cases}$ 在 $(0,0)$ 处偏导数为0，但函数不连续。故（A）错误。
提示：偏导存在不能推连续
步骤 4/6
目标：分析选项（B）可微性
可微需要更强的条件：偏导数存在且连续，或至少函数在该点附近有较好的性质。仅偏导数存在不足以保证可微。故（B）错误。
提示：偏导存在不一定可微
步骤 5/6
目标：分析选项（C）和（D）
选项（C）：$\lim_{x \to x_0} f(x, y_0)$ 存在，这正是偏导数存在所保证的，因为 $f_x'(x_0, y_0)$ 存在意味着 $f(x, y_0)$ 在 $x_0$ 处连续。选项（D）：$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y)$ 存在要求全面极限，偏导数存在不能保证。故（C）正确，（D）错误。
提示：偏导存在仅保证沿坐标轴方向极限存在
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，正确选项为（C）。
提示：偏导存在不能推出可微
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