📝 题目
### 第138题
设函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微，其微分为 $\mathrm{d} z$ ，全增量为 $\Delta z$ ，则 （A） $\mathrm{d} z=\Delta z$ ． （B）$\Delta z=f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta x+f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta y$ ．公众号：旗胜考研 （C） $\mathrm{d} z=f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta x+f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta y+\alpha\left(\alpha\right.$ 是 $\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$ 的高阶无穷小）。 （D）$\Delta z=\mathrm{d} z+\alpha$（ $\alpha$ 是 $\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$ 的高阶无穷小）。
📋 详细解题步骤
目标：步骤1：回顾可微的定义
函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，则全增量 $\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0)$ 可以表示为：
$$\Delta z = f_x'(x_0,y_0)\Delta x + f_y'(x_0,y_0)\Delta y + \alpha$$
其中 $\alpha$ 是 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ 的高阶无穷小，即 $\lim_{\rho \to 0} \frac{\alpha}{\rho} = 0$。
公式：$$\Delta z = f_x'(x_0,y_0)\Delta x + f_y'(x_0,y_0)\Delta y + \alpha, \quad \lim_{\rho \to 0} \frac{\alpha}{\rho} = 0$$
提示：注意α是ρ的高阶无穷小，不是常数
目标：步骤2：明确微分的定义
函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的微分 $\mathrm{d}z$ 定义为：
$$\mathrm{d}z = f_x'(x_0,y_0)\Delta x + f_y'(x_0,y_0)\Delta y$$
公式：$$\mathrm{d}z = f_x'(x_0,y_0)\Delta x + f_y'(x_0,y_0)\Delta y$$
提示：注意微分与全增量的区别
目标：步骤3：比较全增量与微分的关系
由可微定义，全增量 $\Delta z$ 等于微分 $\mathrm{d}z$ 加上一个高阶无穷小 $\alpha$，即：
$$\Delta z = \mathrm{d}z + \alpha$$
公式：$$\Delta z = \mathrm{d}z + \alpha$$
提示：注意α是比ρ高阶的无穷小
目标：步骤4：分析各选项
（A）$\mathrm{d}z = \Delta z$ 错误，因为忽略了高阶无穷小。
（B）$\Delta z = f_x'\Delta x + f_y'\Delta y$ 错误，缺少高阶无穷小项。
（C）$\mathrm{d}z = f_x'\Delta x + f_y'\Delta y + \alpha$ 错误，微分定义中不含高阶无穷小。
（D）$\Delta z = \mathrm{d}z + \alpha$ 正确，符合可微定义。
公式：$$\Delta z = f_x'(x_0,y_0)\Delta x + f_y'(x_0,y_0)\Delta y + o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})$$
提示：注意全增量与微分的区别
目标：步骤5：得出结论
根据可微定义，正确选项为（D）。
提示：可微定义中Δz与dz的关系