kaoyan2advanced 高等数学 第139题
📝 题目
### 第139题
二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{4}+y^{4}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）极限存在但不连续． （B）连续但偏导数不存在． （C）偏导数存在但不可微。 （D）可微。
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：$f(0,0)=0$，$|f(x,y)|\le (x^2+y^2)^{3/2}$，故$f$在$(0,0)$可微且全微分为0。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：步骤1：判断连续性
由定义，$f(0,0)=0$。当$(x,y)\neq(0,0)$时，有$|f(x,y)| = (x^2+y^2)^{3/2} \left|\sin\frac{1}{\sqrt{x^4+y^4}}\right| \leq (x^2+y^2)^{3/2}$。由于$(x^2+y^2)^{3/2} \to 0$当$(x,y)\to(0,0)$，由夹逼定理知$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0)$，故$f$在$(0,0)$处连续。
公式：$$|f(x,y)| \leq (x^2+y^2)^{3/2}$$
提示：注意夹逼定理的使用条件
步骤 2/4
目标：步骤2：计算偏导数
考虑偏导数$f_x(0,0)$：$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(h^2)^{3/2}\sin\frac{1}{\sqrt{h^4}}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{|h|^3\sin\frac{1}{h^2}}{h}$。由于$|h|^3/h = h^2$（当$h>0$）或$-h^2$（当$h<0$），且$\left|\sin\frac{1}{h^2}\right|\leq 1$，故极限为0。同理$f_y(0,0)=0$。因此偏导数存在且均为0。
公式：$$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$$
提示：注意绝对值处理与有界量乘积
步骤 3/4
目标：步骤3：验证可微性
需验证$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$。代入得$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(x^2+y^2)^{3/2}\sin\frac{1}{\sqrt{x^4+y^4}}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{\sqrt{x^4+y^4}}$。由于$|(x^2+y^2)\sin\frac{1}{\sqrt{x^4+y^4}}|\leq x^2+y^2\to 0$，故极限为0，因此$f$在$(0,0)$处可微。
公式：$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$$
提示：注意夹逼准则的使用条件
步骤 4/4
目标：步骤4：得出结论
函数$f$在$(0,0)$处连续、偏导数存在且可微，全微分为$0$。因此正确选项为D。
提示：注意可微的判定条件
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