kaoyan2advanced 高等数学 第140题
📝 题目
### 第140题
140设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点连续，且 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)+3 x-4 y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha}}=2(\alpha>0)$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0$ ， 0）点可微的充要条件是 （A）$\alpha<1$. （B）$\displaystyle \alpha<\frac{1}{2}$ ． （C）$\displaystyle \alpha \geqslant \frac{1}{2}$ ． （D）$\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：由极限式得$f(x,y)=2(x^2+y^2)^\alpha -3x+4y+o((x^2+y^2)^\alpha)$，可微要求$\alpha>1/2$时线性主部为$-3x+4y$，但充要条件是$\alpha<1$？实际由定义，可微需$\alpha>1/2$，但选项中$\displaystyle \alpha<\frac{1}{2}$时不可微，故充要条件为$\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$，对应B选项$\displaystyle \alpha<\frac{1}{2}$？注意题目问可微的充要条件，由极限式知$f(0,0)=0$，且$f(x,y)+3x-4y\sim 2(x^2+y^2)^\alpha$，当$\alpha>1/2$时，$f(x,y)=-3x+4y+o(\sqrt{x^2+y^2})$，可微；当$\alpha\le 1/2$时不可微。故充要条件为$\alpha>1/2$，即B选项$\displaystyle \alpha<\frac{1}{2}$不成立，应选D？检查：选项B为$\displaystyle \alpha<\frac{1}{2}$，D为$\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$，故正确答案为D。 **难度**：★★★★☆