kaoyan2advanced 高等数学 第141题
📝 题目
### 第141题
$\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=0$ ，且当 $x=0$ 时，$z=\sin y ; y=0$ 时，$z=\sin x$ ，则 $z(x, y)=$$ （A） $\sin x$ ． （B） $\sin y$ ． （C） $\sin x+\sin y$ ． （D） $\sin x+\sin y+C$ ．$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：由$\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=0$，先对$y$积分得$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=g(x)$，再对$x$积分得$z=\int g(x)dx + h(y)= \varphi(x)+h(y)$。代入条件：$x=0$时，$z=\varphi(0)+h(y)=\sin y$，故$h(y)=\sin y - \varphi(0)$；$y=0$时，$z=\varphi(x)+h(0)=\sin x$，故$\varphi(x)=\sin x - h(0)$。于是$z(x,y)=\sin x + \sin y - [\varphi(0)+h(0)]$。由$\varphi(0)+h(0)=\sin 0=0$，得$z(x,y)=\sin x+\sin y$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：由偏微分方程推导函数形式
已知 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=0$，先对 $y$ 积分得 $\frac{\partial z}{\partial x}=g(x)$，再对 $x$ 积分得 $z=\int g(x)dx + h(y)= \varphi(x)+h(y)$，其中 $\varphi(x)$ 和 $h(y)$ 分别为 $x$ 和 $y$ 的任意函数。
公式：$$\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=0 \Rightarrow z=\varphi(x)+h(y)$$
提示：注意积分顺序，先对y再对x
步骤 2/6
目标：步骤2：代入第一个边界条件
当 $x=0$ 时，$z=\sin y$，代入 $z=\varphi(x)+h(y)$ 得 $\varphi(0)+h(y)=\sin y$，因此 $h(y)=\sin y - \varphi(0)$。
公式：$$z=\varphi(x)+h(y)$$
提示：注意常数φ(0)的处理
步骤 3/6
目标：步骤3：代入第二个边界条件
当 $y=0$ 时，$z=\sin x$，代入 $z=\varphi(x)+h(y)$ 得 $\varphi(x)+h(0)=\sin x$，因此 $\varphi(x)=\sin x - h(0)$。
公式：$$z=\varphi(x)+h(y)$$
提示：注意常数项h(0)的处理
步骤 4/6
目标：步骤4：合并表达式并确定常数
将 $\varphi(x)$ 和 $h(y)$ 代入 $z=\varphi(x)+h(y)$ 得 $z(x,y)=\sin x - h(0) + \sin y - \varphi(0) = \sin x + \sin y - [\varphi(0)+h(0)]$。由边界条件 $x=0,y=0$ 时 $z=0$，得 $\varphi(0)+h(0)=0$。
公式：$$z(x,y)=\sin x + \sin y - [\varphi(0)+h(0)]$$
提示：注意常数合并与边界条件代入
步骤 5/6
目标：步骤5：得出最终函数表达式
因此 $z(x,y)=\sin x + \sin y$。
提示：注意边界条件的代入顺序
步骤 6/6
目标：步骤6：选择正确答案
对比选项，正确答案为（C）$\sin x+\sin y$。
公式：$$\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=0$$
提示：注意积分顺序和常数处理
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