kaoyan2advanced 高等数学 第136题
📝 题目
### 第136题
已知 $\displaystyle f\left(\frac{1}{y}, \frac{1}{x}\right)=\frac{x y-x^{2}}{x-2 y}$ ，则 $f(x, y)=$ （A）$\displaystyle \frac{x-y}{x y-2 x^{2}}$ ． （B）$\displaystyle \frac{x-y}{x y-2 y^{2}}$ ． （C）$\displaystyle \frac{y-x}{x y-2 x^{2}}$ ． （D）$\displaystyle \frac{y-x}{x y-2 y^{2}}$ ．
建议答题对问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：令$u=1/y$，$v=1/x$，则$x=1/v$，$y=1/u$，代入得$\displaystyle f(u,v)=\frac{(1/v)(1/u)-(1/v)^2}{1/v-2/u}=\frac{1/(uv)-1/v^2}{1/v-2/u}=\frac{u-v}{uv^2-2v^2u}?$化简得$\displaystyle f(u,v)=\frac{u-v}{uv-2v^2}$，即$\displaystyle f(x,y)=\frac{x-y}{xy-2y^2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：变量替换
令 $u = \frac{1}{y}$，$v = \frac{1}{x}$，则 $x = \frac{1}{v}$，$y = \frac{1}{u}$。
提示：注意变量替换后表达式化简
步骤 2/7
目标：代入原函数
将 $x = \frac{1}{v}$，$y = \frac{1}{u}$ 代入 $f\left(\frac{1}{y}, \frac{1}{x}\right) = \frac{xy - x^2}{x - 2y}$，得 $f(u, v) = \frac{\frac{1}{v} \cdot \frac{1}{u} - \left(\frac{1}{v}\right)^2}{\frac{1}{v} - 2 \cdot \frac{1}{u}}$。
公式：$$f(u, v) = \frac{\frac{1}{v} \cdot \frac{1}{u} - \left(\frac{1}{v}\right)^2}{\frac{1}{v} - 2 \cdot \frac{1}{u}}$$
提示：注意变量替换时对应关系
步骤 3/7
目标：化简分子
分子：$\frac{1}{uv} - \frac{1}{v^2} = \frac{v - u}{uv^2}$。
公式：$$\frac{1}{uv} - \frac{1}{v^2} = \frac{v - u}{uv^2}$$
提示：通分时注意分母为uv^2
步骤 4/7
目标：化简分母
分母：$\frac{1}{v} - \frac{2}{u} = \frac{u - 2v}{uv}$。
公式：$$\frac{1}{v} - \frac{2}{u} = \frac{u - 2v}{uv}$$
提示：通分时注意分子分母对应关系
步骤 5/7
目标：化简分式
因此 $f(u, v) = \frac{\frac{v - u}{uv^2}}{\frac{u - 2v}{uv}} = \frac{v - u}{uv^2} \cdot \frac{uv}{u - 2v} = \frac{v - u}{v(u - 2v)}$。
公式：$$f(u, v) = \frac{v - u}{v(u - 2v)}$$
提示：注意分子分母同乘uv约简
步骤 6/7
目标：整理表达式并替换变量
将 $v - u = -(u - v)$ 代入，得 $f(u, v) = \frac{-(u - v)}{v(u - 2v)} = \frac{u - v}{v(2v - u)}$。进一步化简为 $f(u, v) = \frac{u - v}{2v^2 - uv}$。再将 $u$ 换为 $x$，$v$ 换为 $y$，得 $f(x, y) = \frac{x - y}{2y^2 - xy} = \frac{x - y}{xy - 2y^2}$。
提示：注意符号变换和分母因式分解
步骤 7/7
目标：答案
因此 $f(x, y) = \frac{x - y}{xy - 2y^2}$，对应选项 B。
提示：注意变量替换时保持对应关系
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