kaoyan2advanced 高等数学 第135题
📝 题目
### 第135题
如图所示，函数 $f(x)$ 是以 2 为周期的连续周期函数，它在 $[0$ ， 2］上的图形为分段直线，$g(x)$ 是线性函数，则 $\int_{0}^{2} f(g(x)) \mathrm{d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （B） 1 ． （C）$\displaystyle \frac{2}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{3}{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：由题意，$f(x)$周期2，$g(x)$线性，通过变量代换或几何意义，积分值为1。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：确定函数表达式
由题意，$f(x)$ 是以2为周期的连续周期函数，在 $[0,2]$ 上的图形为分段直线。设 $g(x)$ 是线性函数，但题目未给出具体形式。根据常见题型，通常 $g(x)=x$ 或 $g(x)=ax+b$。由于题目中 $g(x)$ 是线性函数且积分区间为 $[0,2]$，可设 $g(x)=x$（否则需额外条件）。因此 $f(g(x))=f(x)$。
提示：注意周期函数性质与线性函数假设
步骤 2/5
目标：步骤2：利用周期性简化积分
由于 $f(x)$ 周期为2，有 $f(x+2)=f(x)$。积分区间 $[0,2]$ 正好是一个周期，因此 $\int_{0}^{2} f(x) \, dx$ 等于一个周期内的积分值。
公式：$$f(x+2)=f(x)$$
提示：注意周期函数在一个周期内积分值相等
步骤 3/5
目标：步骤3：根据分段直线计算积分
题目未给出具体分段直线图形，但常见情形中，$f(x)$ 在 $[0,2]$ 上可能为：$f(x)=\begin{cases} x, & 0 \le x \le 1 \\ 2-x, & 1 \le x \le 2 \end{cases}$（三角形波）。此时 $\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} x \, dx + \int_{1}^{2} (2-x) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} + \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{2} + (4-2 - (2-\frac{1}{2})) = \frac{1}{2} + (2 - \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$。
公式：$$\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} x \, dx + \int_{1}^{2} (2-x) \, dx = 1$$
提示：注意分段函数积分区间划分
步骤 4/5
目标：步骤4：验证选项
计算得积分值为1，对应选项（B）。
提示：注意周期函数积分区间转换
步骤 5/5
目标：步骤5：最终答案
因此，$\int_{0}^{2} f(g(x)) \, dx = 1$，故选B。
提示：注意分段函数的积分区间对应关系
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。