kaoyan2advanced 高等数学 第134题
📝 题目
### 第134题
关于 $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{|x|} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ，下列结论正确的是 （A）取值为零． （B）取正值． （C）发散． （D）取负值．
建议答题时问
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：被积函数$e^{|x|}\sin 2x$为奇函数，但$|x|\to+\infty$时$e^{|x|}$增长极快，积分发散。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析被积函数的奇偶性
被积函数为 $f(x) = e^{|x|} \sin 2x$。由于 $e^{|x|}$ 是偶函数，$\sin 2x$ 是奇函数，乘积 $f(x)$ 是奇函数。
提示：奇函数在对称区间积分为零
步骤 2/5
目标：考虑反常积分的收敛性
对于奇函数在对称区间上的积分，若积分收敛，则值为零。但需先判断积分是否收敛。
提示：先判断收敛性，再谈奇偶性
步骤 3/5
目标：判断积分在正无穷处的发散性
考虑 $\int_0^{+\infty} e^{|x|} \sin 2x \, dx = \int_0^{+\infty} e^{x} \sin 2x \, dx$。当 $x \to +\infty$ 时，$e^{x}$ 增长极快，而 $\sin 2x$ 有界，被积函数无界振荡，积分发散。
提示：注意被积函数在无穷远处不趋于0
步骤 4/5
目标：判断积分在负无穷处的发散性
类似地，$\int_{-\infty}^0 e^{|x|} \sin 2x \, dx = \int_{-\infty}^0 e^{-x} \sin 2x \, dx$，当 $x \to -\infty$ 时，$e^{-x} \to +\infty$，同样发散。
提示：注意被积函数在无穷远处不趋于零
步骤 5/5
目标：结论
由于积分在正无穷和负无穷处均发散，因此原反常积分发散，正确选项为 C。
提示：注意被积函数在无穷远处不趋于零，积分发散。
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