kaoyan2advanced 高等数学 第133题
📝 题目
### 第133题
曲线 $y=2 \sqrt{x-1}(1 \leqslant x \leqslant 2)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转曲面的面积为 （A）$\displaystyle \frac{4}{3} \pi$ ． （B）$\displaystyle \frac{8 \pi}{3}(2 \sqrt{2}-1)$ ． （C）$\displaystyle \frac{8 \pi}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{4 \pi}{3}(2 \sqrt{2}-1)$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：旋转曲面面积$S=2\pi\int_1^2 y\sqrt{1+(y')^2}dx$，$y=2\sqrt{x-1}$，$y'=1/\sqrt{x-1}$，$1+(y')^2=1+1/(x-1)=x/(x-1)$，故$\displaystyle S=2\pi\int_1^2 2\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x/(x-1)}dx=4\pi\int_1^2 \sqrt{x}dx=4\pi\cdot\frac{2}{3}(2^{3/2}-1)=\frac{8\pi}{3}(2\sqrt{2}-1)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出旋转曲面面积公式
曲线 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转曲面的面积为 $S = 2\pi \int_a^b y \sqrt{1+(y')^2} \, dx$。
公式：$$S = 2\pi \int_a^b y \sqrt{1+(y')^2} \, dx$$
提示：注意积分区间和导数计算
步骤 2/4
目标：计算导数并化简被积函数
已知 $y = 2\sqrt{x-1}$，则 $y' = \frac{1}{\sqrt{x-1}}$。于是 $1+(y')^2 = 1+\frac{1}{x-1} = \frac{x}{x-1}$。因此 $y\sqrt{1+(y')^2} = 2\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{\frac{x}{x-1}} = 2\sqrt{x}$。
公式：$$S = 2\pi \int_{1}^{2} y \sqrt{1+(y')^2} \, dx$$
提示：注意化简根号内表达式
步骤 3/4
目标：代入积分并计算
将化简结果代入面积公式：$S = 2\pi \int_1^2 2\sqrt{x} \, dx = 4\pi \int_1^2 x^{1/2} \, dx$。计算积分：$\int_1^2 x^{1/2} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_1^2 = \frac{2}{3}(2^{3/2} - 1) = \frac{2}{3}(2\sqrt{2} - 1)$。
公式：$$S = 2\pi \int_a^b y \sqrt{1 + (y')^2} \, dx$$
提示：注意积分上下限和化简过程
步骤 4/4
目标：得出最终面积
因此 $S = 4\pi \cdot \frac{2}{3}(2\sqrt{2} - 1) = \frac{8\pi}{3}(2\sqrt{2} - 1)$。
公式：$$S = 2\pi \int_{1}^{2} y \sqrt{1+(y')^2} \, dx$$
提示：注意积分限和根号内化简
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