kaoyan2advanced 高等数学 第157题

原积分为两个积分之和： $$\int_{0}^{2} \mathrm{d} y \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{y}} f(x, y) \mathrm{d} x + \int_{2}^{2 \sqrt{2}} \mathrm{d} y \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{2}} f(x, y) \mathrm{d} x$$ 第一部分：$y \in [0,2]$，$x$ 从 $\frac{y}{2}$ 到 $\sqrt{y}$。 第二部分：$y \in [2, 2\sqrt{2}]$，$x$ 从 $\frac{y}{2}$ 到 $\sqrt{2}$。

由 $x = \frac{y}{2}$ 得 $y = 2x$；由 $x = \sqrt{y}$ 得 $y = x^2$；由 $x = \sqrt{2}$ 得 $x = \sqrt{2}$。 第一部分区域：$y$ 从 $0$ 到 $2$，$x$ 在曲线 $y=2x$ 和 $y=x^2$ 之间，且 $x \leq \sqrt{y}$ 即 $x \leq \sqrt{2}$（因为 $y \leq 2$ 时 $\sqrt{y} \leq \sqrt{2}$）。 第二部分区域：$y$ 从 $2$ 到 $2\sqrt{2}$，$x$ 在直线 $y=2x$ 和竖直线 $x=\sqrt{2}$ 之间。 合并后，$x$ 的范围为 $[0, \sqrt{2}]$，$y$ 的下边界为 $y = x^2$（当 $x \in [0,1]$ 时由 $x=\sqrt{y}$ 得），上边界为 $y = 2x$（当 $x \in [0,\sqrt{2}]$ 时由 $x=y/2$ 得）。注意：当 $x \in [1,\sqrt{2}]$ 时，$y$ 的下边界仍为 $x^2$，但此时 $x^2 \geq 1$，而 $y$ 的上边界 $2x$ 仍大于 $x^2$，区域连续。

将积分区域表示为 $x$ 型区域： $$x \in [0, \sqrt{2}], \quad y \in [x^2, 2x]$$ 因此原积分化为： $$\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{d} x \int_{x^2}^{2x} f(x, y) \mathrm{d} y$$

选项（C）为 $\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{d} x \int_{x^2}^{2x} f(x, y) \mathrm{d} y$，与所得结果一致。

因此，正确选项为（C）。