kaoyan2advanced 高等数学 第158题
📝 题目
### 第158题
微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y=\cos ^{2} x$ 的特解形式为（其中 $a, b, c$ 为任意常数） （A）$a \cos ^{2} x$. （B）$a \sin ^{2} x$ ． （C）$x(a+b \cos 2 x+c \sin 2 x)$ ． （D）$a+x(b \cos 2 x+c \sin 2 x)$ ．
建设签题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：原方程$\displaystyle y''+4y=\cos^2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos2x$。齐次方程特征方程$r^2+4=0$，根$r=\pm2i$。非齐次项含常数项和$\cos2x$，其中$\cos2x$对应特征根$\pm2i$，需设特解形式$x(a\cos2x+b\sin2x)$，常数项对应特解常数，故整体特解形式为$x(a+b\cos2x+c\sin2x)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简非齐次项
原方程 $y''+4y=\cos^2 x$，利用三角恒等式 $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x$。
公式：$$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$$
提示：注意非齐次项需拆分为常数和余弦项
步骤 2/5
目标：求解齐次方程的通解形式
齐次方程 $y''+4y=0$ 的特征方程为 $r^2+4=0$，解得 $r=\pm 2i$，故齐次通解为 $y_h = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x$。
公式：$$r^2+4=0$$
提示：特征根为共轭复根时通解形式
步骤 3/5
目标：分析非齐次项对应的特解形式
非齐次项由常数项 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{2}\cos 2x$ 组成。常数项对应特解为常数 $A$；$\cos 2x$ 对应特征根 $\pm 2i$，需乘以 $x$，设特解形式为 $x(B\cos 2x + C\sin 2x)$。
提示：注意非齐次项分解后常数项与三角项分别处理
步骤 4/5
目标：合并特解形式
将两部分特解合并，常数 $A$ 可并入 $x$ 项前的系数中，故整体特解形式为 $x(a + b\cos 2x + c\sin 2x)$，其中 $a,b,c$ 为任意常数。
提示：注意合并后常数可并入系数
步骤 5/5
目标：选择正确选项
对比选项，选项C为 $x(a+b\cos 2x+c\sin 2x)$，符合上述特解形式。
公式：$$y''+4y=\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$
提示：注意非齐次项需先化简再设特解形式
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