kaoyan2advanced 高等数学 第159题
📝 题目
### 第159题
设 $p(x), q(x), f(x)$ 均是已知的连续函数，$y_{1}(x), y_{2}(x), y_{3}(x)$ 是 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+ q(x) y=f(x)$ 的 3 个线性无关的解，$C_{1}$ 与 $C_{2}$ 为任意常数，则方程的通解为 （A）$\left(C_{1}-C_{2}\right) y_{1}+\left(C_{2}+C_{1}\right) y_{2}+\left(1-C_{2}\right) y_{3}$. （B）$\left(C_{1}-C_{2}\right) y_{1}+\left(C_{2}-C_{1}\right) y_{2}+\left(C_{1}+C_{2}\right) y_{3}$ ． （C） $2 C_{1} y_{1}+\left(C_{2}-C_{1}\right) y_{2}+\left(1-C_{1}-C_{2}\right) y_{3}$ ． （D）$C_{1} y_{1}+\left(C_{2}-C_{1}\right) y_{2}+\left(1+C_{1}-C_{2}\right) y_{3}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：非齐次方程的通解为齐次通解加一个特解。$y_1,y_2,y_3$线性无关，则$y_2-y_1$和$y_3-y_1$是齐次方程的两个线性无关解。通解可写为$y_1+C_1(y_2-y_1)+C_2(y_3-y_1)=C_1y_2+C_2y_3+(1-C_1-C_2)y_1$。令$C_1=C_2$，$C_2=C_1$，则选项D中$C_1y_1+(C_2-C_1)y_2+(1+C_1-C_2)y_3$可化为$y_3+C_1(y_1-y_3)+C_2(y_2-y_3)$，符合通解结构。 **难度**：★★★☆☆