kaoyan2advanced 高等数学 第156题
📝 题目
### 第156题
设 $f(x, y)$ 连续，则 $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y=$ （A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{-2}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\int_{-2}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （C） $2 \int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （D） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2} f(r, \theta) r \mathrm{~d} r$ ．
建议答题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：积分区域由$x\in[0,2]$, $y\in[-\sqrt{4-x^2},\sqrt{4-x^2}]$描述，即$x^2+y^2\leq4$且$x\geq0$，对应右半圆。极坐标变换$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$，区域为$r\in[0,2]$, $\displaystyle \theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，积分变为$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{2} f(r\cos\theta,r\sin\theta) r \mathrm{d}r$，即选项D。 **难度**：★★☆☆☆